極限 微分方程式の問題

質問

以下の問題の解法を教えてください。
1はロピタルの定理を利用すると思うのですが納得のいく解法が思いつきません
2は同次形の微分方程式だと思うのですが、途中でつまってしまいました。

1.lim(x→∞）x^a/e^x=0
2.dy/dx=(x+y)/(x-y)

よろしくお願いします

回答No.3

R_Earl · ベストアンサー

ANo.2です。

> 2は∫{ (1 - u) / (1 + u^2) }du = ∫(1/x)dｘの左辺の積分でつまりました。

∫{ (1 - u) / (1 + u^2) }du
= ∫{ 1 / (1 + u^2) }du - ∫{ u / (1 + u^2) }du
= arctan(u) - (1/2)log(1 + u^2) + C

∫{ u / (1 + u^2) }duの不定積分(1/2)log(1 + u^2)は、
分母をtとおいて置換積分することで求まります

> u=tanθとおいてみたのですが、
> θ+logcosθとなりここからθの消去のしかたが良く分かりませんでした。

u = tanθということは、arctan(u) = θということです。
これをθ + logcosθに代入すると、
arctan(u) - (1/2)log(1 + u^2)と等しくなります。

回答No.2

R_Earl

> 1.lim(x→∞）x^a/e^x=0

x^a / e^xの分子のxの次数を1増やしたf(x) = x^(a+1) / e^xを作ります
（この場合、x^a / e^x = f(x) / xですね）。
y = f(x)の増減を考え、x → ∞でもf(x)がある値より小さくなることを示します。
x → ∞でf(x) → ∞とならないなら、f(x) / xはx → ∞で0に収束しそうですよね。

もう少し厳密に書くと

(1) xが正の数ならf(x) = x^(a+1) / e^xは正の値をとります。
(2) xをどんどん大きくすることを考えると、f'(x) < 0となります。つまり減少に転じます。

(1), (2)よりxが正の数なら0 < f(x) < Mとなります(Mはf(x)の極大値)。
0 < f(x) < Mより、xが正の値なら0 < f(x) / x < M / xとなります。
よって挟みうちの定理より、lim(x → ∞) { f(x) / x } = 0が示せます。

> 2.dy/dx=(x+y)/(x-y)

右辺の分子分母をxで通分して

dy/dx = (1 + y/x) / (1 - y/x)

y/x = uとおくと

dy/dx = (1 + u) / (1 - u)

ここでy/x = uからy = uxなのでdy/dx = u + x・du/dx。
よって

u + x・du/dx = (1 + u) / (1 - u)
x・du/dx = (1 + u^2) / (1 - u)
∴ ∫{ (1 - u) / (1 + u^2) }du = ∫(1/x)dx

回答No.1

Tacosan

1: ロピタルの定理を使えばいいです. 「納得のいかない解法」としてはどのようなものが挙がりますか?
2: つまったところまで書いてみてください.

補足

1はlim(x→∞）(x/e^x/a)^aと置き換えlim(x→∞）(x/e^x/a)はロピタルの定理を使うと→０よりlim(x→∞）x^a/e^x=0としました。

2は∫{ (1 - u) / (1 + u^2) }du = ∫(1/x)dｘの左辺の積分でつまりました。u=tanθとおいてみたのですが、θ+logcosθとなりここからθの消去のしかたが良く分かりませんでした。