高次方程式の問題

質問

a,b,cは異なる３数とする。
f（x）=[(x-a)(x-b)]/[(c-a)(c-b)]+[(x-b)(x-c)]/[(a-b)(a-c)]+[(x-c)(x-a)]/[(b-c)(b-a)]

を簡単にせよ　　

という問題ですが、一致の定理を使う以外の初等的な解法をあれば教えてください

お願いします。ちなみに答えはf（x）＝１です。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

f（x）=[(x-a)(x-b)]/[(c-a)(c-b)]+[(x-b)(x-c)]/[(a-b)(a-c)]+[(x-c)(x-a)]/[(b-c)(b-a)]

a,b,cは異なる数だから両辺に(a-b)(b-c)(c-a)をかけて
(a-b)(b-c)(c-a)f(x)=-(a-b)(x-a)(x-b)-(b-c)(x-b)(x-c)-(c-a)(x-c)(x-a)
=(b-a)［x^2-(a+b)x+ab)-(b-c)(x^2-(b+c)x+bc)+(a-c)(x^2-(a+c)x+ac)］
=0・x^2+0・x+ab(b-a)-bc(b-c)+ac(a-c)
=ab^2-a^2b-b^2c+bc^2+a^2c-ac^2
=(b-a)c^2+(a^2-b^2)c+(b-a)ab
=(b-a)［c^2-(a+b)c+ab］
　　　　　=(b-a)(c-a)(c-b)
=(a-b)(b-c)(c-a)
したがって　f(x)=1

お礼

これです！ありがとうございました。

回答No.4

mnakauye

こんにちは。

　式の形は複雑ですが、a,b,cの対称性に注目すると、式変形の基本的な方法よりも、
良い方法が見つかります。

　解等
　与えられた式は、ｘについて2次式以下である。

　ｘ＝aを代入すると、右辺第一項と第三項は、０になるので、f(a)=1、

　同様にｘ＝bを代入すると、f(b)=1、ｘ＝cを代入すると、f(c)=1．

　2次以下の式で、異なる3つの値に対して、f(X)は、定数1になるので、

　ｆ（ｘ）は定数

　（このことは、2次以下の式のグラフを考えれば、明らかです）

　だから、ｆ（ｘ）＝１

回答No.2

info22_

f（x）=[(x-a)(x-b)]/[(c-a)(c-b)]+[(x-b)(x-c)]/[(a-b)(a-c)]+[(x-c)(x-a)]/[(b-c)(b-a)]
=Ax^2+Bx+C
とおくと
f(a)=1=Aa^2+Ba+C ...(1)
f(b)=1=Ab^2+Bb+C ...(2)
f(c)=1=Ac^2+Bc+C ...(3)
(1)-(2)より
(A(a+b)+B)(a-b)=0
a≠bなので
A(a+b)+B=0 ...(4)
同様に(2)-(3)より
A(b+c)+B=0 ...(5)
(4)-(5)より
A(a-c)=0 ...(6)
a≠cより
A=0
(4)より
B=0
(1)に　A=B=0を代入して
C=1

∴f(x)=1

回答No.1

Tacosan

ベタに展開する. 中学生でもできる.