文字式の考えかた

質問

以前、質問したのですが申し訳ございませんもう一度教えてください。
みなさんにはご迷惑をお掛けしてすいません。

1辺の長さが1の正方形のタイルＡと、1辺の長さが２の正方形のタイルＢがある。
タイルＡとタイルＢの2種類のタイルを必ず用いて、それぞれのタイルにが重ならないように、隙間なく敷き詰めて１辺の長さがm(Mは３以上の奇数）のタイルをつくる。

タイルＢの枚数がタイルＡの枚数より44枚多くなるときの、作られた正方形の1辺の長さを求める問題で

○求める正方形の1辺の長さを2n＋1という文字式にするのが分かりません。
○タイルAの枚数,4n＋1,タイルＢの枚数をn＾2と置くのが分かりません。
文字式の作り方について教えてください

回答No.2

leap_day · ベストアンサー

まず基本的な考え
≪m＝3のとき≫
必ず1枚使うのでB=1ですよね。んで残りを埋めるのにAが5枚いります

≪m=5のとき≫
(B,A)=(1,21)(2,17)(3,13)(4,9)という組み合わせになります

≪m=7のとき≫
(B,A)=(1,45)(2,41)(3,37)(4,33)(5,29)(6,25)(7,21)(8,17)(9,13)となります

Bの数がAの数より多くなるということだから
Bをたくさん使って残りをAで埋めていくというのが一番最小の正方形を作ることになりますよね

これを踏まえたうえで・・・(図を描くと分かりやすいかも)

Bを1枚使ったとしたら右と下の辺にAのタイルをつけてAが4枚・・・
正方形にするのに右下の角が残ってるので+1枚

Bを横に2枚使ったとしたら・・・
Bをたくさん使った方がいいのでその2枚の下にもBをつけなければいけませんよね・・・これでBは4枚(4*4の正方形)
で奇数(5*5)にしないといけないので右と下の辺にAをつけて8枚・・・
正方形にするのに右下の角に+1枚

・
・
・
という風にしていくと

Bをn個横に並べて正方形を作るとしたら
(n=1のとき)
１辺(2*1+1)の正方形・・B １枚(1*1)　A ５枚(2+2+1)

(n=2のとき)
1辺(2*2+1)の正方形・・B ４枚(2*2)　A ９枚(4+4+1)

(n=3のとき)
１辺(2*3+)1の正方形・・B ９枚(3*3)　A １３枚(6+6+1)

・
・
(n=kのとき)
１辺(2*k+1)の正方形・・B (k*k)枚　A (2k+2k+1)枚

となります

後はkをnに変えてやればいいです

１辺 2n+1 の正方形・・B n^2 枚　A 4n+1 枚

で問題文の条件から

n^2 = (4n+1) + 44

これを解いて　n = -5 , 9

nは正の数なので　n = 9

お礼

どうもありがとうございました。
とても参考になり、問題を解けることができました。
どうもありがとうございます。

回答No.3

age_momo

問題の一部を書いていないか、勘違いがあるようですが、

>１辺の長さがm(Mは３以上の奇数）のタイルをつくる。
>○求める正方形の1辺の長さを2n＋1という文字式にするのが分かりません。

問題には作った後の一辺が３以上の奇数と書いていますから

m=2n+1

と置けばnが自然数の時にmは３以上の奇数になります。こういう場合の決まりといっていいほど
常套手段ですね。

>○タイルAの枚数,4n＋1,タイルＢの枚数をn＾2と置くのが分かりません。

これは私にも分かりません。何か問題に書いてあることを省略していませんか？
書いてあることだけで分かることを書き出すと

一辺が(2n+1)の正方形の面積は(2n+1)^2=4n^2+4n+1
今、Aの数をaとするとBの数bはb=(a-44)、それぞれの面積は4と1なので

4a+(a-44)=4n^2+4n+1
5a=4n^2+4n+45
a=4n(n+1)/5+9

が成り立つ。aが整数であるためにはnもしくは(n+1)が5の倍数である必要がある。
このことから　n=5k　or　(5k-1)　と置くと

m=2n+1=10k+1　or　2(5k-1)+1=10k-1

つまり10の倍数±1となります。またこの時、

a=20k^2+4k+9　or　20k^2-4k+9
b=a-44=20k^2+4k-35　or　20k^2-4k-35

今、k=１の時にはb<0になるので不可、k=2,3,4・・・となる。
よって条件に合う正方形は

m=19,21,29,31,39,・・・

と分かる。

お礼

参考になりました
どうもありがとうございます。

回答No.1

zk43

mが奇数なので、とりあえず2n+1と表わす。
よく、ある数が偶数のとき2n、奇数のとき2n+1または2n-1と表わす。

タイルBを縦にn枚、横にn枚おいて正方形に敷き詰めると、タイルBの
枚数はn^2枚、この正方形の縦の長さは2n、横の長さも2n、面積は4n^2
これ以上タイルBを使うことはできない。

1辺の長さが2n+1の正方形の面積は(2n+1)^2=4n^2+4n+1
このうちタイルBで4n^2が占領されているので、残った部分の面積は、
(4n^2+4n+1)-4n^2=4n+1
この部分をタイルAで敷き詰めるには4n+1枚必要

つまり、タイルBを最大限使う場合の敷き詰め方を考えていることにな
る。

ここから条件を使ってnを決めていくことになるのでしょう。
答えは１つかどうかわからないので、タイルBを4枚のタイルAで置き換
えて、他に条件に当てはまる場合を探すのでしょう。
鶴亀算みたいなものか？

お礼

参考になりました
ありがとうございます