個数の処理

質問

図は縦に5本横に5本の線がある図です

n(n≧2)本の平行線と、それらに直交するn本の平行線が、それぞれ両方とも同じ間隔a(a>0)で並んでいる。

（１）合計2n本の直線のうちの4本で囲まれれる長方形（正方形を含む）は全部で何個？

(nC2)＾2からどうして
〔n!/(2!(n-2)!)〕になって
〔n(n-1)＾2/2・１〕になるかわかりません。

（２）
正方形は全部で何個？

1辺の長さが1・aの正方形は横方向にn-1個、縦方向にn-1個作れる。

この時のn-1個はどうやってわかるのですか？
どこから現れたのでしょうか？

式は
Σ(k=1,n-1)=(n-1)＾2＋(n-2)＾2…＋1＾2

だそうですが、どうしてこうような式ができたのかわかりません。

回答No.1

hitomura

（１）
>(nC2)＾2からどうして
>〔n!/(2!(n-2)!)〕になって
>〔n(n-1)＾2/2・１〕になるかわかりません。
確かに。^2があやふやになっていますね、これは。
2行目：〔n!/(2!(n-2)!)〕^2
3行目：〔n(n-1)/(2・１)〕^2、または、(n^2)×{(n-1)^2}/4
でないと話が合いません。

（２）
>>1辺の長さが1・aの正方形は横方向にn-1個、縦方向にn-1個作れる。
>この時のn-1個はどうやってわかるのですか？
>どこから現れたのでしょうか？
n本の線の間にある隙間の数を数えると出てきます。
これでピンと来ないならば、図を良く見てください。図ではます目は何個横に並んでいますか？ます目は何で区切られていますか？たて線は何本並んでいますか？

>式は
>Σ(k=1,n-1)=(n-1)＾2＋(n-2)＾2…＋1＾2
>だそうですが、どうしてこうような式ができたのかわかりません。
これも何か抜けているように見えます。
ひょっとして、

n-1
Σk^2=(n-1)＾2＋(n-2)＾2…＋1＾2
k=1
（１、３行目は文字が小さい）

の間違いではないでしょうか。
ともあれ、右辺の第1項は辺の長さが１×ａの正方形の個数、第２項は辺の長さが２×ａの正方形の個数、…、最後の項は辺の長さがｎ×ａの正方形の個数になります。それらを全部足せば（２）の答えになります。