文章問題

質問

1辺の長さが1の正方形のタイルＡと、1辺の長さが２の正方形のタイルＢがある。
タイルＡとタイルＢの2種類のタイルを必ず用いて、それぞれのタイルにが重ならないように、隙間なく敷き詰めて１辺の長さがm(Mは３以上の奇数）のタイルをつくる。

タイルＢの枚数がタイルＡの枚数より44枚多くなるときの、作られた正方形の1辺の長さを求める問題で
例えばm=９のときタイルＡが17枚、タイルBが16枚必要となります
タイルＢの1辺の長さが2√b＋１
タイルＡの１辺の長さが2*2√b＋1
の1辺の求めかたが分かりません。

回答No.2

mis_take

> タイルＢの1辺の長さが2√b＋１
> タイルＡの１辺の長さが2*2√b＋1
> の1辺の求めかたが分かりません。
ここが方向がずれています。

このようなｍを１つ求めればよいのか，すべて求めるのか，はっきりしませんが，それによって解答が違ってきます。

ｍは奇数なので，ｍ＝２ｎ＋１ とおく。
タイルＢを最も多く使うとき，Ｂをｎ^2枚，Ａを４ｎ＋１枚使う。
ＢをＡより44枚多く使うから
ｎ^2＝４ｎ＋１＋44
ｎ^2－４ｎ－45＝０
(ｎ－９)(ｎ＋５)＝０
∴ ｎ＝９
∴ ｍ＝19

１つ求めるだけならこれで終わりですが，すべて求めるのならさらに続けます。

Ｂ１枚をＡ４枚に変えることができるので
Ｂをｎ^2－ｋ枚，Ａを４ｎ＋１＋４ｋ枚使ってできる。
ｎ^2－ｋ＝４ｎ＋１＋４ｋ＋44
ｎ^2－４ｎ＝５ｋ＋45
(ｎ－２)^2＝５ｋ＋49＝５(ｋ＋９)＋４　（ｎ≧９）
２乗した数が，５で割ると４余る数になるとき，元の数を５で割ったときの余りは２または３である。
ゆえに，
ｎ－２＝５ｉ＋２,３
ｎ＝５ｉ＋４，５
ｍ＝10ｉ＋９，11　（ｉ≧１）
ｍ＝10ｊ±１　（ｊ≧２）

補足

Ａの4n＋1とBのn＾2はどうやって現れたのか分からないので教えてくれませんか？

回答No.1

pocopeco

面積で考えます。

A をa 枚、Bをb枚とすると b=a+44

面積で考えると、
m^2=a+4b

m^2=a+4(a+44)=5a+176

mを考えると、奇数で2乗して176より大きくなる数
13＾2＝169 だめ
15^2=225　225-176=5a aが整数でないので、ダメ
17^2＝289　289-176=113 aが整数でないので、ダメ
19^2=361 361-176=5a a=37

a=37,b=81 m=19
でいかがでしょう？