メンガーのスポンジ(Menger sponge)の頂点の個数、表面積など

質問

http://en.wikipedia.org/wiki/Menger_sponge
にあるメンガーのスポンジで、普通の立方体(一辺をaとします)を0番目と考え、その次の穴あきを1番目とします。
このとき、n番目のメンガーのスポンジで次のものを求めたいのですが、どう書けるのでしょうか？
n=0,1のときは考えることができたのですが、一般にはどうなるのかわかりません。

メンガーのスポンジの表面を正方形分割している場合の頂点の個数
(n=0のとき8、n=1のとき64)
メンガーのスポンジの表面を正方形分割していない場合の頂点の個数
(n=0のとき12、n=1のとき40)
メンガーのスポンジの表面を正方形分割している場合の辺の個数
(n=0のとき12、n=1のとき144)
メンガーのスポンジの表面を正方形分割していない場合の辺の個数
(n=0のとき12、n=1のとき72)
メンガーのスポンジの表面を正方形分割している場合の面の個数
(n=0のとき6、n=1のとき72)
メンガーのスポンジの表面を正方形分割していない場合の面の個数
(n=0のとき6、n=1のとき30)

体積
(n=0のときa^3、n=1のときa^3・(20/27)、n=nのときa^3・(20/27)^n)
表面積
(n=0のとき6a^2、n=1のとき8a^2)
メンガーのスポンジの表面を正方形分割している場合の辺の長さの和
(n=0のとき12a、n=1のとき48a)
メンガーのスポンジの表面を正方形分割していない場合の辺の長さの和
(n=0のとき12a、n=1のとき32a)

種数（ジーナス）
(n=0のとき0、n=1のとき5)
オイラー標数（ベッチ数の交代和）
(n=0のとき2、n=1のとき-8)

回答No.5

wloop · ベストアンサー

やる気が出たので”正方形分割していない”場合もやってみました。

注意することは＃４でのべたようにスポンジを足す時に奥まった
部分にある辺や面も考慮すること、あとスポンジを足しあげて
いくときにスポンジを１個ずつ足したときの増減を数えるものと、
２０個全部足しあげた後に増減を数えるものとにわけること。
面の場合でいうとn番目のスポンジで一番大きい面、これは６個
あるわけですがこれについてはn番目のスポンジを２０個全部
足しあげた後にそれによってできる面の増減を考える。
たとえばn番目のスポンジの面f[n]としたときの漸化式は初期条件
f[0]=6として

f[n+1]=20・(f[n] - 6) + 6 + 24 - 4・24・（(8^n - 1)/7)

になります。辺、頂点、辺の長さも同様にできます。
漸化式を直接使うかまたは解いて個数、または長さをもとめます。

＃３や＃４での計算と同じようなことをするのでやってると
あきてしまうかもしれません。
他の方法があれば教えていただければうれしいですが。

回答No.4

wloop

表面を正方形分割している場合の頂点、辺、面、辺の長さを。

基本的な考え方はオイラー標数を求めたときと同じで、n番目のスポンジを
２個くっつけたとき、頂点、辺、面がn番目のスポンジが１個のときに
較べてどうかわるかを見ればあとは順々にスポンジを加えていくだけで計算できます。

そのときに必要な情報はくっつける面、すなわちn番目のスポンジの
６個ある面のうちのひとつにおける、頂点、辺、面の数等で
これらは面がくっつくことによってだぶったりきえたりするわけですが
（だぶるのはくっつける面の境界部分の頂点と辺、残りの頂点、辺、面はきえる。）
これを考慮すれば計算できます。

その結果、n番目のスポンジ頂点、辺、面をそれぞれv[n]、e[n]、f[n]としてn番目の
スポンジをふたつくっつけたときの頂点、辺、面をそれぞれV、E、Fとする
と次の関係式がなりたつことがわかります。
V=2・v[n]-((12/7)・8^n+(16/7))
E=2・e[n]-4・8^n
F=2・f[n]-2・8^n

オイラー標数を求めたときと同様、n+1番目のスポンジはｎ番目のスポンジ
２０個からできており、ｎ番目のスポンジ同士が張り合わされている面の
数は２４あるので上でのべたn番目のスポンジ２個くっつけた場合も参考に
すると漸化式は
v[n+1]=20・v[n]-24・((12/7)・8^n+(16/7))
e[n+1]=20・e[n]-24・(4・8^n)
f[n+1]=20・f[n]-24・(2・8^n)
となり、これらの漸化式をとけば

v[n]=384/133+(24/7)・8^n+(32/19)・20^n
e[n]=8・8^n+4・20^n
f[n]=4・8^n+2・20^n

となります。v[n]-e[n]+f[n]は＃３で求めたオイラー標数a[n]と一致することがわかります。
辺の長さはl[n]はe[n]/3^n・aとなります。

正方形分割してないときの頂点等というのは意味がよくわからないのですが、たとえば
面の数は１ですよね？おれまがらない平らな部分を一個の面と考えているので
しょうか？そうだとするとこの方法だとくっつける面だけでなくそれにつながっている
奥まった部分にある辺や面も考慮する必要がありそうです。
またどのようにくっつけていくかも考慮する必要があるかもしれません。
そこまでやる気はおこりませんでしたのでこれにて失礼いたします。

回答No.3

wloop

まだ回答されてないもののうちオイラー標数を。

＃１さん、＃２さんがいわれてるとおりn+1番目のスポンジは
n番目のスポンジを２０個くっつけてできたもの。
n番目のスポンジのオイラー標数をa[n]とし、a[n+1]をa[n]であらわす。

まず、n番目のスポンジを２個くっつけたときの図形のオイラー標数Ａが
どうなるかみてみる。全部で６個あるスポンジの面のうちひとつの面を
くりぬき、面がくりぬかれたスポンジ同士をその境界でくっつける。
そうするとオイラー標数ＡはＡ＝２・a[n]-２・b[n]となる。ここでb[n]は
くりぬいた面のオイラー標数。これは１から穴の数を引いたものなので
b[n]=1-(8^n-1)/7となる。くっつける前のオイラー標数をもとに考えると
貼り合わせたスポンジのオイラー標数a[n]分増え、
くっつけた面のオイラー標数b[n]の２倍分減ることがわかる。

次にスポンジをどんどん貼り合わせていくとオイラー標数は
くっつけたスポンジの個数×a[n]だけ増え、スポンジがくっついている
面の個数×２×b[n]だけ減る。n+1番目のスポンジは上で
述べたようにｎ番目のスポンジ２０個からできており、ｎ番目のスポンジ同士
が張り合わされている面の数は２４あるのでn+1番目のスポンジの
オイラー標数はa[n+1]=２０・a[n]-４８・b[n]となる。
この漸化式は簡単にf[n+1]=p・f[n]＋q（p,q:定数）の形に変形でき
a[0]=2を使うと一般項をもとめることができる。結果、オイラー標数は

a[n]=384/133-(4/7)・8^n-(6/19)・20^n

となる。種数g[n]はa[n]=2-2・g[n]からもとまる。

回答No.1

noname#227064

何処かの誰かが既に解いていそうな問題ですが、表面積について解いてみました。
n番目のメンガーのスポンジは、一辺がa/3^kのブロックに分割でき、そのブロックが20個集まることで、一辺がa/3^(k-1)のブロックができることに注意する。
一辺がa/3^kのブロックの内側（くりぬかれた部分）の表面積をSin(k)、それ以外の外側の表面積をSout(k)とすると、
Sout(n) = 6*a^2/9^n
Sout(n-1) = 6*8*a^2/9^n
:
:
Sout(k) = 6*8^(n-k)*a^2/9^n
:
:
Sout(0) = 6*(8/9)^n*a^2
であり、
Sin(n) = 0
Sin(n-1) = 20*Sin(n)+6*4*Sout(n)/6 = 4*Sout(n)
Sin(n-2) = 20*Sin(n-1)+6*4*Sout(n-1)/6 = 4*(20*Sout(n)+Sout(n-1))
:
:
Sin(k) = 4*Σ20^(m-1)*Sout(k+m) (m = 1～n-k)
:
:
Sin(0) = 4*Σ20^(m-1)*Sout(m) (m = 1～n-k)
= 4*Σ20^(m-1)*6*8^(n-m)*a^2/9^n
= 3*(8/9)^n*a^2*Σ(5/2)^(m-1)
= 2*(8/9)^n*a^2*((5/2)^n-1)
となることから、n番目のメンガーのスポンジの表面積Sは、
S = Sout(0)+Sin(0)
= 6*(8/9)^n*a^2+2*(8/9)^n*a^2*((5/2)^n-1)
= {2+(5/2)^n}*2*(8/9)^n*a^2
となる。

> メンガーのスポンジの表面を正方形分割している場合の頂点の個数
> (省略)
> メンガーのスポンジの表面を正方形分割していない場合の面の個数

については、正方形分割しているしていないがよくわかりません。
メンガーのスポンジの表面を正方形分割している場合の頂点の個数はひょっとして(3^n+1)^3が求める答えでしょうか？

種数とオイラー標数については、そもそもそういうものがあること自体知らなかったのでパス。