定積分（区間がｘの式）について

質問

「関数f(x)＝∫[x→2x+1]　1/(t^2+1)　dt　とする。
(1)f(x)=0を満たすｘを求めなさい
(2)f'(x)＝0を満たすｘを求めなさい
(3)f(x)の最大値を求めなさい」

という問題に取り組んでいます
(1)なのですが、t=tanθとおいてみたのですが、積分の区間がｘなのでθの区間にできないのです。（やり方を知りません）何かほかのものに置くといいのでしょうか？
(2)は結局1/(t^2+1)のｔをｘに変えてそのｘに2x+1を入れたものからｘを入れたものを引く方法でいいのでしょうか？（見当はずれでしょうか？）
回答宜しくお願いします

回答No.8

oyaoya65 · ベストアンサー

A#7の補足質問について

＞(2)で微分するとき、arctanの関数というのは普通に1/（cosｘ）^2となるのでしょうか？

tan x と違いますので(tan x)'の公式を適用は出来ません。

arctan(x)の定義の1つに

arctan(x)=∫{1/(1+x^2)}dx
というのがあります。
この両辺を微分すれば{arctan(x)}'の微分が得られます。

もう少しがんばって最後までやってください。

補足

逆関数は習ってなく調べながらやっているためなかなか大変です。
arctan(x)=∫{1/(1+x^2)}dxの式は与式と関係ありそうなのですが、積分してから微分するから質問にも書いたとおり1/(1+x^2)に２ｘ＋１を入れたものからｘを入れたものを引くのではだめなのですか？

回答No.9

proto

合成関数の微分を見落としているようですね

　　f(x)=∫[a,x]{g(t)}dt
をxについて微分すると
　　f'(x)=g(x)
となりますが

例えば
　　f(x)=∫[a,x^2]{g(t)}dt
をxについて微分すると
　　f'(x)=g(x^2)*2x
になります
これはg(t)のtにx^2を代入したものとは異なりますよね

このことは∫{g(t)}dt=G(t)とでも置けば
わかります
　　f(x)=∫[a,x^2]{g(t)}dt
　　　　=G(x^2)-G(a)
この両辺を微分するワケですが
G(x^2)は合成関数になっているので
微分するときには注意が必要です

補足

やっとわかりました。
ありがとうございます

回答No.7

oyaoya65

A#6です。
＞arctan(2x+1)-arctan(x)というのはどのように計算すればいいのでしょうか？
これはこれ以上計算できない最終結果です。
Excelや他のグラフを描くソフトでプロットできます。
f(x)＝arctan(2x+1)-arctan(x)
のまま、関数計算ができ、グラフも描いてくれます。
Excelの場合の関数式は
=ATAN(2*x+1)-ATAN(X)
となります。
Excelでのxは－4～0.8までを0.2刻みで表を作り散布図あたりでグラフを描いてみるといいでしょう。
（フリーソフトでも良いグラフィックソフトがいくつかあります。）
ただし、x=-1でf(x)がゼロとなることグラフで確認するには、-2～0の範囲をもう少し細かな刻みにしないと完全にゼロとは判断できないかも知れません。
そこは計算で
f(-1)=arctan(2*(-1)+1)-arctan(-1)=arctan(-1)-arctan(-1)=0
で確認すればいいですね。

上記について、またこの先についても分から無いところが出たら質問してください。

補足

またまたありがとうございます
(1)がｘ＝－１になるのはなんとかわかりました。
(2)で微分するとき、arctanの関数というのは普通に1/（cosｘ）^2となるのでしょうか？

回答No.6

oyaoya65

A#5の訂正です。
＞x=tan(y)
＞つまり　actan(.)はtan(.)の逆関数ですね。
arctan(.)は　tan(.)の逆関数ですね。

arctan(x)は tan^(-1) x とも書きます。
(-1)はtanの肩の上に書き、べき乗ではなく、逆関数を表す表現ですね。もちろんどちらも、arctangent(アークタンジェント)と読みます。

その後の解答の作成はうまく行きましたか？
何処かでひっかかっているときは、そこまでの解答の要所要所の式等を示して、補足質問をしてください。

補足

返信ありがとうございます
arctan(2x+1)-arctan(x)というのはどのように計算すればいいのでしょうか？

回答No.5

oyaoya65

#3です。
補足の回答です。
＞ところで、arc・atcというのは一体どういう意味なのでしょうか？
arc・atc　？
＞＞f(x)=g(2x+1)-g(x)=arctan(2x+1)-atctan(x)
この式のatctan(x)のことであれば
f(x)=g(2x+1)-g(x)=arctan(2x+1)-arctan(x)
のキー打ちミスです。訂正します。

なお、arctanについては
arctan(x)=y
とおけば
x=tan(y)
つまり　actan(.)はtan(.)の逆関数ですね。

回答No.4

kony0

(2)ですが、
f(x)=∫[a(x)→b(x)]g(t)dt
において、g(t)の不定積分（の１つ）をG(t)とおくと
f(x)=G(b(x))-G(a(x))
これを微分して＜ここまで#1さんのとおり。合成関数の微分に留意すると・・・＞
f'(x) = b'(x)g(b(x)) - a'(x)g(a(x))

ってことで、b'(x)やa'(x)を忘れちゃいけません。
（#2さんの示唆されているところです）

ところで、(3)はけっこう良い問題と感じました。x<0を満たす全てのx（特にx<-2の部分）でf(x)<f(0)であることを示すのは、増減表を書くのは当然ですが、それだけでは足りないと思います。
増減表をかいたところで、x<-2の挙動が気になるかと思うのですが、x<-2を満たすすべてのxでf(x)<0(<f(0))であることを示すことを忘れなければOKでしょう。（被積分関数が常に正でかつ、積分の始点＞終点だから、積分結果は負、という程度でよいと思います。）

回答No.3

oyaoya65

＞t=tanθとおいてみたのですが、積分の区間がｘなのでθの区間にできないのです。（やり方を知りません）何かほかのものに置くといいのでしょうか？

考え方は、不定積分ですればわかると思いますが、積分変数を一旦θにおいて、不定積分し、積分結果のθを元の変数に戻せばいいことになります。
その後、不定積分に積分の上限と下限を代入し差を取ればいいですよ。

f(x)＝∫[x→2x+1]　1/(t^2+1)dt
先ず不定積分を求めてください。
I=∫1/(t^2+1)dt,t=tanθ,dt=(1+(tanθ)^2)dθ
=∫dθ=θ+C, θ=arctan t
=arctan t +C =g(t)
f(x)=g(2x+1)-g(x)=arctan(2x+1)-atctan(x)

＞(2)は結局「1/(t^2+1)の」

でなくて、「不定積分の積分結果の」
とすれば、後は正しいですね。

＞ｔをｘに変えてそのｘに2x+1を入れたものからｘを入れたものを引く方法でいいのでしょうか？（見当はずれでしょうか？）

後もがんばってください。
(1)はx=-1,(2)はx=0,-2,(3)f(0)=Max
の結果がでてくればOKですよ。

補足

式まで書いていただきありがとうございます
ところで、arc・atcというのは一体どういう意味なのでしょうか？

回答No.2

nisinihon_765

(1)は、そもそもf(x)の中の1/(t^2+1)がtによらず正なので・・・と考えるべきでしょう。

(2)違います。多分数IIIの教科書を読めば分かると思いますが、Ｆ(2x+1)の微分＝1/(t^2+1)のｔをｘに変えてそのｘに2x+1を入れたもの、ではないです。

回答No.1

proto

(1)について
　　∫[a→a]g(x)dx=0
のように定積分の幅が0ならば
その値も0になるので
　　x=2x+1
となるようなxが答えになります

(2)について
　　∫{1/(t^2+1)}dt=F(t)
とすると
　　f(x)=∫[x→2x+1]{1/(t^2+1)}dt
　　　　=F(2x+1)-F(x)
これを微分しf'(x)=0と置けばいいです

(3)は解いてみて無いですが(1)と(2)の結果から
増減表でも書けば求まると思います