逆関数について

質問

逆関数が何回読み返してもよく分かりません。
　そもそも何のためにわざわざ逆関数を求める必要が
　あるのでしょうか？
　たとえば
　Ｙ＝tanＸ　の逆関数の微分を求めよという問題の
　場合。何度しても途中でどっちがもとの関数だったか
　こんがらがってしまいます。
　何かいい方法をご存知の方おられないでしょうか？

　またひょっとすると逆関数とは
　Ｙ＝３Ｘ＋５　　のように単純に　ＸとＹが置き換わる
　ものではなくて、簡単に置き換わらず、微分した
　導関数の時点で、始めて便利なことがある
　というようなものではないかとも思います。
　よろしくお願いします。

回答No.2

masudaya · ベストアンサー

簡単に必要性だけ,
たとえば,道路で勾配が0.05ですと書いてあったりします.
このときの角度はAcrtanでないと求まりません.(ちなみに答えは約3度)
三角関数の場合,角度が必要な場合は逆三角関数を使って角度を求めます.
同じように,関数関係にあるy=f(x)としたとき,逆関数x=f^(-1)(y)と表したりしますが,入力をxとしてyを求める場面と,yが分かっていてxを知りたい場面の両方があり逆関数は実用上においてはよく用いられていると思います.
グラフ的にはy=xの直線で折り返した形になります.

当然,ご指摘にあった微分したときに便利な面もあります.

お礼

ありがとうございました。
　Arctan と言うのは大学過程で出てくる
　用語でしょうか？

回答No.3

proto

ちなみに指数関数exp(x)と対数関数log(x)
も互いに逆関数の関係にあります
たぶん高校で最初に指数関数の導関数を求めたときには
両辺の対数を取ってから微分したと思いますが
これも逆関数を利用したって事ですかね

逆関数は元の関数とは違った面白い性質を持っているので使われるのではないでしょうかね

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

adinat

y = tan x
の逆関数は
x = tan y
です。普通関数はy=の形にしますからこれをy=に変形すれば
y = Arctan x
と書く、というわけです。微分は1変数の場合は単純に逆関数の微分公式により
dy/dx=1/(dx/dy)
によって求められます。右辺の意味はxをyの関数と思って微分したものの逆関数を取れ、ということです。つまり、y=Arctan xをxで微分すると、
d/dx(Arctan x)=1/[(d/dy)tan y]=1/(1/cos^2 y)=cos^2 y
というわけです。ただし最後はyが出てきていますので、元のxに戻せばよいですから、
cos^2 y=cos^2(Arctan x)
というわけです。これでもいいですが普通はもう少し計算して、
cos^2 y=1/(1+tan^2 y)
としてからy=Arctan xを代入します。Arctanはtanの逆関数だからtanと合成するとxになります（これが逆関数の定義です）。すなわちtan(Arctan x)=xですから、結局
cos^2 (Arctan x)=1/(1+tan^2 (Arctan x))=1/(1+x^2)
というわけです。たぶん面倒なのは最後のxの式に戻すところだと思います。慣れればなんてことないのですけれど。

逆関数はそれ自体有用であることもよくあります。たとえば指数関数e^xの逆関数は対数関数といってlog xなど書かれたりしますが、これは非常に重要な関数です。三角関数の逆関数もよく使われます。特にtanの逆関数は(-π/2,π/2)を実数全体に1:1に滑らかに写すという点で実用的でもあります。これは進んだ話題ですが。

ちなみに逆関数はいつでも存在するとは限らないので注意が必要ですが、今はそんなに気になさらなくてもよいと思います。