力学的エネルギーの保存

質問

はじめまして。
力学的エネルギーの保存則で
(1/2)mv^2＋mgh＝(1/2)mv'^2+mgh'
がありますがこれを
(1/2)mv^2=mghとするということは可能でしょうか？？
自分は、前者のほうで問題を解いていたのですが
友人は後者のほうで解いていて疑問に思いました。
後者の式は前者の式を移行して
(1/2)mv'^2-(1/2)mv^2＋＝mgh-mgh'
この結果、運動量の変化＝位置エネルギーの変化
ということでよいのでしょうか？？
問題を解くときに、まだよく理解していないので
(1/2)mv^2=mghを使うのに抵抗があります・・・。
教科書は(1/2)mv^2=mghの方で進めています。

初歩的な質問ですみませんが
すこしご教授お願いしますm(__)m

回答No.4

HTNK

基本的に物理法則というのは、何かを仮定して、その上に数学的に成立する理論を組み立てるものであると思うので、出てきた数式をどう解釈するかは自由だと思います（もちろんセンスの良い、あるいはより本質的でありそうな解釈の方が望ましいです）。特に「力学的エネルギー保存の法則」というのは、中身的には法則というより定理というような気がしますので、その傾向がより強いのではないかな？と感じます。

運動エネルギーの変化＝位置エネルギーの変化
という解釈は可能です。shinbqzさんが抵抗を感じたとしても、別に「shinbqzさんが力学的エネルギー保存の法則を理解できていない」わけではないと思いますし、「なぜ俺とは考え方が違うんだ」というよりは「俺とは異なった捉え方をしている。さて、それが主張する内容はどんなもんかな？」と考えた方が良いと思います。

ちなみに、全然初歩的な質問ではないですよ。shinbqzさんがよく考えている証拠です。

回答No.3

ht1914

＞力学的エネルギーの保存則
＞(1/2)mv^2＋mgh＝(1/2)mv'^2+mgh'（式１）

この式が基本の式です。「保存」ですから状態Ａから状態Ｂに変化したときに変わらないという内容です。保存則では必ず２つの状態を比較します。
移項すると
＞(1/2)mv'^2-(1/2)mv^2＋＝mgh-mgh'（式２）
となります。これも正しいです。でもこの結果を
＞運動量の変化＝位置エネルギーの変化
とするところに混乱があります。（「運動量」と書いてあるのは「運動エネルギー」の間違いですね。）
「変化」と言っていますね。でも式をよく見ると「運動エネルギーの増加＝位置エネルギーの減少」です。片方が増えるともう一つが減ります。これを変化と言っています。だから「変化」という表現は絶対値で考えたものです。
＞(1/2)mv^2=mgh（式３）
この式はある条件での落下運動で成り立つものです。
「質量ｍの物体がある高さから初速度０で落下しはじめる。ｈ落下したときの速さがｖになった」という場面で使いますね。
この式３は式１または式２にこの場面での値を代入したものです。左辺は運動エネルギーの増加、右辺は位置エネルギーの減少です。ｖ、ｈの意味が式１、式２とは変わっています。式１，式２では「’」で状態を区別しています。式３ではいきなり差が出てきています。ｈは高さの差ですから位置そのものを表しているとは限らないことになります。
高さの基準を変えると式１に入る量は変わってきます。でも変形するとどの場合でも式３になります。

少しでも混乱しそうであれば式１を使うといいと思います。はじめの状態と変化後の状態をハッキリと整理して使って下さい。

回答No.2

b-SARENA

力学的エネルギー保存則は(1/2)mv^2＋mgh＝一定であって、(1/2)mv^2＋mgh＝(1/2)mv'^2+mgh'という形が成立するという意味ではありません。例えば、高さｈの所から初速度０でボールを鉛直方向に落下させる。その時床に衝突する直前の速度vを求めよといわれたら、ボールを放す時の位置エネルギーがmghで運動エネルギーは０（初速度０なので）、床に衝突する直前のボールの位置エネルギーは０（高さがないので）、運動エネルギーは(1/2)mv^2となり、式は(1/2)mv^2=mghとなるのです。ですから、力学的エネルギー保存則は(1/2)mv^2＋mgh＝(1/2)mv'^2+mgh'という式が必ず成り立つという意味ではないのです。

回答No.1

larme001

場合によっては、おっしゃるとおり
運動量の変化＝位置エネルギーの変化
が成立することもありますが、これは摩擦や弾性力等その他いろいろ絡んでくると間違える元となります。よって、本来エネルギー保存則は
初めの全エネルギー＝後の全エネルギー...(1)
という形で考えたほうが、時には遠回りですが、確実です。

このとき位置エネルギーと運動エネルギーのみ関わるとすると、
(1/2)mv^2＋mgh＝(1/2)mv'^2+mgh'
となりますが、ここで、位置エネルギーはあくあで「相対位置」によるエネルギー差ですから、仮にh'=0の地点を用いると
(1/2)mv^2＋mgh＝(1/2)mv'^2
と書くことは可能です。さらにv'に関しても相対速度を用いれば
(1/2)mv（相対速度）^2＋mgh＝0と、質問者さんの言っているもの（符号の違いはh=0としたかどうかなので関係ない）が得られます。

ただ、設問にもよりますが、速度vで走行しているものが、v'まで加速した場合のエネルギー保存を立てるときに、相対速度v''=v-v'などを用いて
(1/2)m(v''+v')^2=mgH
と書くのは、正しいですが、一般的ではありません。相対速度を用いる場合は、物体同士の加速度が異なる場合などが多く、特にそういうややこしい場合でないときに(1/2)m(v''+v')^2=mgH などとやると、混乱をまねくし、計算ミスをしやすいので、個人的には、(1)の考えが基本で、この場合
(1/2)mv^2＝(1/2)mv'^2+mgH H=初期位置からの相対位置
ぐらいにするほうが分かりやすいです。

くりかえしますが、（１）という考えが元になっているとすれば、摩擦が入ろうが、弾性エネルギーが入ろうが、間違えることはないので、これを理解することすすめます。「公式」というよりも、「保存則」ですので、当たり前のことですから、特に覚えるもなにもないはずです。

教科書のものは、初期速度０の場合に成立しますが、別に（１）から初めの運動エネルギー＝０、後の位置エネルギー0とみなしただけだと思います。