高校物理 力学 複数の物体の力学的エネルギー保存

質問

糸で結ばれたP,Qを定滑車にかけ、静かに放す。
Qがｈだけ下がったときの速さｖを求めよ。
Pの質量をｍ、Qの質量をM　ｍ＜Mとする。

この問題を解いています。
答えでは、
Mgh＝1/2Mv^2＋1/2mv^2＋mgh
となっているのですが、この式が理解できません。
Mghがなぜ負でないのでしょうか？
回答いただけると助かります。
宜しくお願いします

回答No.1

hiro0825 · ベストアンサー

PQは同じ高さにあると考えます。

高さの基準は二つの質点とします。
すると初めの力学エネルギーは両方とも動いていないのと基準の高さであることから0となります。
h下がった時のエネルギーは運動エネルギーが1/2mv^2+1/2Mv^2、位置エネルギーがPはmgh、Qは-Mghとなります。
したがって
0＝1/2Mv^2＋1/2mv^2＋mgh-Mgh
となります。
これを変形すると質問された式になります。単に表現の違いです。

補足

回答ありがとうございます。
0＝1/2Mv^2＋1/2mv^2＋mgh-Mgh　を変形してあの式になったのですか！本当に助かりました。

ところで、この問題の解答に
「なお、P,Qは、はじめ並んでいる必要はない」
と書いてありました。
もし、上の条件のような並んでいない状態であっても同じとき方でできるのでしょうか？

回答No.4

kansai_daisuki

No.3の質問ですが、
Mgh=1/2Mv^2のとき、
v=√(2gh)となりますよね。

　ここで、あなたが今、手にボールを持っている場合、それを床(手からの高さh)に落としたときの速度です。

　さて、ここで、このhは床ですよね。別に海抜0mでなければならないとかではないですよね。

　即ち、hは相対的な高さです。
つまり、床の間に手があって、手で受け止めたときには、そこまでの高さがhです。そのときの速度が、
v=√(2gh)となりますよね。
単なる、運動エネルギーと位置エネルギーの変換ですよね。vになるときのhですよ。
20(m/s^2)になるときには、どの程度落下するかとかは、求められますよね。

回答No.3

hiro0825

なりますね。適当に高さを決めてやってみるとわかります。
初めのそれぞれの位置を文字で決めると文字数が増え最初の式とは少し変わりますが。
分からなかったら適当な例を挙げますよ。

変形してなったというとは言い切れないと思います。初めの高さの基準などで変わります。

補足

分からなかったら適当な例を挙げますよ。

ぜひお願いします！

回答No.2

abyssinian

>この問題の解答に
>「なお、P,Qは、はじめ並んでいる必要はない」
>と書いてありました。

　その通りです。ぜんぜん必要はない。
位置エネルギは高いほど大きいのだから、Mは高さが減少するから、君が悩んだとおり位置エネルギ変化はマイナスで正しいんです。hがクセモノで、普通のy座標と方向が反対で、下に行くほどプラスの値が大きい。だから、hの「方向」がマイナスを隠し持ってるんです。

エネルギ保存の法則
(1)　全てのエネルギ変化の総和＝0
より、
(2)　位置エネルギ変化+運動エネルギ変化=0
移項して
(3)　-位置エネルギ変化=運動エネルギ変化

左辺は、重力質量Mが下がるから位置エネルギ変化はマイナス、mが上がるから位置エネルギ変化はプラスです。
右辺は、運動エネルギの慣性質量はM+mです。
だから(3)式は、

(4)　-(-Mgh+mgh)=(1/2)(M+m)v^2

回答に書かれてある式は、エネルギを出す成分を左辺、エネルギを吸う成分を右辺に、分けて書いてあります。
式いじりで物理的な意味を見失わないようにしましょう。