mt+1型の素数は無数に存在することの証明

質問

mt+1型の素数は無数に存在することを証明したくて、色々と調べた結果ここのサイト↓
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuronN/node39.html
に証明方法が載っていました。
しかしどうしても理解できないところが2箇所ありとても悩んでいます。
わかりやすく解説していただけると助かります。

1つ目は「定理22によって次の等式が成り立つ・・・」の所です。
（なぜこの等式が成り立つのか良くわかりません）

2つ目は「ｘ＝ａを代入して・・・」の所です。
（どうしたらこの合同式が導き出せるのかなぞです）

どうか宜しくお願いします。

回答No.2

yoikagari · ベストアンサー

疑問2について

aのe乗をa^eと書きます。
a^{e(f-1)}+a^{e(f-2)}+・・・+a^e+1=F_m(a)G(a)
F_m(a)≡0　(mod　p)ですから
a^{e(f-1)}+a^{e(f-2)}+・・・+a^e+1≡0　(mod　p)・・・●
a^e≡1　(mod　p)ですから
a^{e(f-1)}≡1　(mod　p)，a^{e(f-2)}≡1　(mod　p)，・・・，a^e≡1　(mod　p)が成り立ちます。
「ここで、a^{e(f-1)}+a^{e(f-2)}+・・・+a^e+1は、a^{e(f-1)}，a^{e(f-2)}，・・・，a^e，1のf個の数の和であることに注意して下さい。」・・・※
a^{e(f-1)}+a^{e(f-2)}+・・・+a^e+1≡1+1+・・・+1　(mod　p)・・・○
※より○の合同式の右辺の1+1+・・・+1は1がf個あることがわかるので、1+1+・・・+1=fとなります。
したがって
a^{e(f-1)}+a^{e(f-2)}+・・・+a^e+1≡1+1+・・・+1≡f　(mod　p)
となります。

したがって●より
f≡0　(mod　p)
となります。

お礼

とても丁寧に解説して頂きありがとうございます。
すごく良くわかりました。

回答No.1

koko_u

読んだ。最近はこんなウェブサイトもあるのね。

>1つ目は「定理22によって次の等式が成り立つ・・・」の所です。
>（なぜこの等式が成り立つのか良くわかりません）
定理22が説明されているページを最初から読めば自ずとわかると思うんですが。
F_m(x) は原始 m 乗根のみを解とする方程式だよね。

>2つ目は「ｘ＝ａを代入して・・・」の所です。
>（どうしたらこの合同式が導き出せるのかなぞです）
これも明白だと思いますが。
左辺が f になるのがわからないということ？

補足

回答ありがとうございます
2つ目のところは左辺がなぜｆになるのかがよくわかりません。
すみません。質問がわかりにくくて。