正三角形の穴を通り抜けられる最大の球の体積

質問

一辺６ｃｍの正三角形の穴を通り抜けられる最大の球の体積は？
という問題について質問します。
答えは４ルート３πｃｍ^3だと分かっているのですが、何故この答えが導き出されるのか理解できません。
教えてください。お願いします。

回答No.1

sacra_sak · ベストアンサー

通り抜けられる最大の球，といえば，つまり通り抜けられる最大の「円板」としてもいいことはわかるでしょうか．球はどこから見ても正円だから，最大の円の半径が分かれば，求める球の体積も分かりそうですね．
　そして通り抜ける最大の「円」となれば，それはもはや「内接円」に他なりません．一辺が 6 の正三角形の面積は 9√3 です．そこで内接円半径を r とすると，面積の公式により三角形の面積は，
　　　(面積) = (1/2)・(周長)・r
となることを利用します．周長はここで当然 6 が三辺だから 18 で，面積は 9r．そしてこれが 9√3 に等しいということですから，
　　　9r = 9√3
　　∴　r = √3
というわけで内接円半径 r は √3 です．ということは半径を √3 とする球の体積を求めて，
　　　体積 V = (4/3)・π・(√3)^3 = 4√3 π
となります．

お礼

お礼が遅くなってすみません。
図形の問題が本当に苦手で、こうして質問させて頂いたのですが、
親切で丁寧な回答が得られてうれしいです。
お蔭様で、理解できました。
ありがとうございました。

回答No.3

marori3

/|＼
　　/　|　　＼
　/　　|　　　　＼
/　　　|　　　　　　＼
￣￣￣￣￣￣￣￣
正三角形の真ん中に描いた線の長さが　3√3　です。
中心までだと　√3　です

あとはANo.1さんの通りです。

お礼

お礼が遅くなってすみません。
図まで描いていただいて感謝の限りです。
ありがとうございました。

回答No.2

bad-boys

あなたが中学、あるいは高校、大学何年でどこまで何を知っているのかわからないので、高校3年であり真面目に勉強してきたと仮定して答える。
まず、正三角形とその内接円を描きます（これが断面図となる）。
次に、ある頂点と向かい合う辺の円との接点（それは向かい合う辺の中点でもある）を結びます。
その線分の長さは3√3であり、球の中心は正三角形の重心でもあるので、球の半径は√3だとわかる。
あとは球の体積の公式にぶち込めば終了。

お礼

お礼が遅くなって真にすみませんでした。

ずばり高３です(笑)
実際に図に描いて答えを導き出すことが出来ました。
お答えありがとうございました。