【正四面体と球】滝高校入試数学の立体の問題が・・・

質問

今年の入試の数学の問題で、（確か）大問５に立体の問題がありました。（問題文もうろ覚えですが・・・）
今から思い返して考えても解き方がわかりません。中学の知識で解ける範囲で教えてください。

【問】１辺４cmの正四面体に、ぴったりと球が内接している。
この球の半径を１cm大きくしたとき、正四面体からはみ出る部分の体積を求めよ。

回答No.3

pancho · ベストアンサー

mmkyさんへ
３つの点で問題を間違えている様ですよ。

（１）問題に登場する多面体は正四面体であって、正６面体（立方体）ではありません。回答の後半にある対角線の求め方から、立方体と勘違いしているようです。

（２）最初に求めている体積は、１番目の球と２番目の球の体積差であって正四面体からはみ出た部分ではありません。

（３）１番目の球は、正四面体（立方体と勘違い）に内接しているしているのであって、球に正四面体が内接しているわけでもありません。だから、対角線を求めても１番目の球の半径にはなりません。

以上。

回答No.4

mmky

mmkyです。
そうでしたか。ごめん。

回答No.2

mmky

参考程度に
正四面体は固定ということでしょうかね。
球体の体積は、半径をＲとすると
V=4πＲ＾3/3
ですね。
１辺４cmの正四面体に、ぴったりと球が内接している時の半径を
Ｒとすると、この球の半径を１cm大きくしたとき、正四面体から
はみ出る部分の体積は、
ΔV=(4π/3){(R+1)＾3-R＾3} ----(1)
=(4π/3){3R＾2+3R+1}
ということですね。

球に内接する直角二等辺三角形の対角線Ｌの長さは、
Ｌ=√(4＾2+4＾2)=4√2
正四面体の一番長い対角線の長さ＝球の直径
2R=√{(4√2)＾2+4＾2}=4√3
R=2√3
これを(1)に代入すると、
ΔV=(4π/3){(2√3+1)＾3-(2√3)＾3}
=(4π/3){3*(2√3)＾2+3*(2√3)+1}
=(4π/3){37+6√3}
ということですかね。
参考程度に

回答No.1

pancho

高校入試の問題ということで、最終形として球が正四面体を内包しているだろうと仮定してみました。

ところが、内接する球の半径を求めると、
　√6/3
球の中心から正四面体の頂点までの距離は、
　√6
となり、拡張後の球の半径が
　√6+1
であることから、
　（拡張後の球の半径）＜（球の中心から正四面体の頂点までの距離）
であり、拡張後の球は正四面体を内包していませんでした。

この状態では、正四面体からはみ出たお椀型の体積を求めるのに積分が必要になると思われますので、中学生の範囲では解けないでしょう。

最初に仮定した「拡張後の球が正四面体を内包」していれば、三平方の定理を使いつづけて解けます。どこか数値を間違っていませんか？

以上。