正四面体の体積について

質問

数Iからです。

Q.一辺の長さがaの正四面体の体積は、一辺の長さが1の正四面体の体積の何倍になるか。また、その体積をaで表せ。

体積を実際に求めることは、公式を一つ一つ使って求められるのですが、この問題だけが解りません。公式ばかりに依存し過ぎなのでしょうか。
解る方教えて下さい。お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

正四面体の体積の求め方は、
　三角錐の体積公式
　正四面体の底面積をS,正四面体の高さをHとしたとき
　V＝S・H/3　…(1)
であることを利用します。

底面積Sは三角形ですから、
　三角形の面積公式
　三角形の底辺をA,三角形の高さをhとすると三角形の面積公式
　S=Ah/2 …(2)
です。

(1)と(2)から
　V=A・h・H/6　…(3)

一辺の長さが1の正四面体の場合
　A=1, h=√3/2, H=√(3/2) …(4)
なので
　V=1・√3/2・√(2/3)/6
=√2/12 …(5)
となります。

一辺の長さがaの正四面体の場合
相似比から (4）の三角形の一辺の長さや高さがa倍になるので
A=a, h=(√3/2)a, H=(√(3/2))a …(6)
これを(3)に代入すると
　V=a・(√3/2)a・√(2/3)a/6
=(√2/12)a^3 …(7)
となって、(5)と(7)を比較すると
相似比1:aの４面体の体積比は 1:a^3 (1:aの三乗)
となることが分かる。つまり、(a^3) 倍になることが分かる。

この体積の求め方の詳細については参考URLをご覧下さい。
同URLには、正四面体の体積を求める方法として、
(6)のHを求めることなく、一辺の長さaの正四面体の体積を、
一辺の長さ(√2)a の立方体の体積から４個の直角三角錐の体積を差し引いて求める
より簡単な方法を紹介していますのでぜひご覧になって、考え方を覚えて下さい。
そうすれば、正４面体の体積公式を忘れても、簡単に正四面体の体積を求めることが出来ると思います。

参考URL：

http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/kirinuki/kirinuki18.html

お礼

大変解りやすい説明でした。ありがとうございました。

回答No.3

htms42

一辺の長さが１の時の正四面体の体積は求まったのでしょうか。
一辺の長さがａの時の正四面体の体積はどうでしょう。

両方とも求まっているのであれば、自動的にａ^3倍になっていることは分かるはずです。

この問題は
一辺が１の時の体積を求めることの方が簡単だと考えて
相似形だとａ^3倍になることを使うことで一辺がａの時の体積を求めるようになっています。
「相似形だと体積は(一辺の長さの比)^3倍になる」ことはすぐにわかるだろうという前提です。

もしそういう前提があなたにとって分かりにくいというのであれば正直に一辺がａの時の体積を求めればいいのです。立ち往生する必要はありません。

（別）
一辺の長さが１の立方体を考えます。上面の正方形をＡＢＣＤ、下面の正方形をＡ'Ｂ'Ｃ'Ｄ'とします。（Ａの下がＡ'です。）
対角線ＡＣを引きます。
対角線の両端、Ａ，Ｃから側面の正方形に対角線を引きます。
Ｂ'とＤ'に２本ずつ集まります。対角線Ｂ'Ｄ'を引きます。
対角線の長さはどれも√２です。
頂点ＡＣＢ'Ｄ'を結んだ図形は一辺が√２の正四面体です。
体積は１／３です。
立方体１つから正四面体を１つ切りだせます。
体積が１／６の三角錐を４つ切り落とせばいいのです。
立方体の一辺の長さの√２倍が正四面体の一辺の長さです。
立方体の一辺の長さを２にすれば立方体の体積は８になります。
正４面体の体積も８倍になるのは分かるのではないでしょうか。

回答No.1

gohtraw

正四面体の体積は底面積＊高さ／３で与えられます。一辺の長さがａ倍になったら、底面積は何倍になるでしょう？また、高さは何倍になるでしょう？

正四面体ではなく立方体だったらどう考えますか？また、一辺の長さが２の正四面体を、一辺が１の正四面体に切り分けるといくつになるでしょう？

みたいなことをいろいろ考えてみるとだんだん規則が見えてくると思いますよ。

お礼

回答ありがとうございます。
つまり、a倍、体積はa三乗ということになるのでしょうか？

例えば、相似比a:1の二つの正四面体とすると、面積の比はa二乗:1、体積の比はa三乗:1と同じことが言えるわけでしょうか？