ある範囲の素数の個数

質問

単に思いつきで気になったことなのですが、

『 n(n∈N, n≠1) までの自然数に含まれる素数の個数 P(n)』と『 n 』の関係は何らかの形で示せるのでしょうか？
n に対して、その具体値P(n)を直接求めることはできないように思いますが…。

例えば、「P(n)は f(n) 以下である」というように、P(n)の値に関して、nを用いて何らかの絞り込みはできるのでしょうか？
「P(n) は n 以下である」は（n≠1なので）常に言えますが、他に保証されているP(n)に関する命題はあるのでしょうか。

非常に抽象的な質問で恐縮ですが、何かご回答頂ければ幸いです。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

素数定理をご覧になってはいかがでしょうか。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86

　上限値を求めるものではありませんが、ｎが大きくなるにつれてよい精度で個数を求めることができるようです。

お礼

ご教示ありがとうございます。
Wikipediaをきちんと拝見しておらず失礼しました；

参考にさせていただきます…がやはり簡単に示せるものではないですね…；

回答No.2

zk43

これは、数に関する根本的な質問ですね。
１５０年間解決されていないリーマン予想にも関連するものです。
これに関連した「素数の音楽」という本が面白いと思います。

ある自然数ｎが素数かどうか判定するのに、素朴な方法として、
ｎが√ｎ以下のすべての自然数で割り切れなければ素数である、
というのがあります。（もちろん、１は除きます）
（∵n=ab（1＜a≦b)と分解されるとすると、n≧a^2、√n≧a
すなわち、nは√n以下の約数を持つ。）
これを利用してエクセルのＶＢＡを使って、かなり大きいところまで
P(n)を調べてみると、ガウスのn/lognはかなり良い近似を与える
ことが見て取れます。また、n/((logn)-1)の方が良い近似を与える
ことも見て取れます。（P(n)は一般にπ(n)の記号を用いる）
算式だけを見ていても実感がわかないと思いますので、パソコンで
実験して見ると面白いと思います。
パソコンのないガウスの時代にn/lognを予想できるなんて、とてつも
ないことだと思います…

お礼

ご回答ありがとうございます。
実際に試すにもどんな風に書いたらよいのか分かりませんでした；

n / (logn)-1 がより近い近似となるのですね。
参考にさせていただきました。
ありがとうございます。