n^2+4が立方数となる条件

質問

こんばんは。

自分でふと思いついた問題なのですが…。
nを自然数としたとき、
n^2+4の立方根が整数となる条件を導きたいのですが、
どうすればいいか分かりません。
簡単なプログラムを組んで調べてみたところ、自明なn=2, 11以外は
30000以下のnでは条件を満たすnは見つかりませんでした。

命題を満たすnは2,11以外は存在しないのでしょうか？
また、それが正しいとしてそれを証明するにはどうしたらいいのでしょうか？

回答No.2

tatsumi01 · ベストアンサー

No. 1 のものです。

DC1394 さんと同じことをフェルマーが言っているようです。
「平方数に４を加えて立方数になるのは、２＾２＋４＝２＾３と１１＾２＋４＝１５＾２の二つの場合のみである」
この予想は楕円曲線の有理点問題ですが、代数的整数論で証明されているようです。誰が証明したのかはわかりません。

岩波講座現代数学の基礎「数論１」加藤和也他著（１９９６）

お礼

ありがとうございます！＾＾

偶然でもフェルマーと同じ予想にたどり着いたのは
とてもうれしいです。
楕円曲線論はちょっとかじったことがある程度なので、
証明が理解できるかどうか分かりませんが、
ご紹介された本を探してみようと思います。

本当にありがとうございました＾＾

回答No.1

tatsumi01

この問題、楕円曲線
y^2=x^3-4
が有理数の解をいくつ持つかに関係しそうですね。
楕円曲線の有理点についてはいろいろ研究されているようですから、そちらで何かわかるのではないでしょうか。