ゼータ関数と関連？ Σ[p∈素数]1/p^2

質問

Σ[n∈N]1/n=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+…=∞

Σ[n∈N]1/n^2=1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+1/6^2+…=π^2/6

Σ[p∈素数]1/p=1/2+1/3+1/5+1/7+…=∞

ですが、

Σ[p∈素数]1/p^2=1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+…=???

の値はどうなるのですか?

回答No.1

ryn · ベストアンサー

いろいろ式をいじっていると
　Σ[p∈素数]1/p^2
= ln(ζ(2)) - (1/2)*ln(ζ(4)) - (1/3)*ln(ζ(6)) + 0*ln(ζ(8))
- (1/5)*ln(ζ(10)) + (1/6)*ln(ζ(12)) - (1/7)*ln(ζ(14)) + 0*ln(ζ(16))
+ 0*ln(ζ(18)) + (1/10)*ln(ζ(20)) + …
のような式が得られましたが，
係数の規則性がよくわかっていません．

どうやら n 項目の係数は 0, ±(1/n) のいずれかにはなっているようですが，
これでは元の式を汚くしただけですね．

お礼

ありがとうございました。
簡単ではなさそうですね。