フェルマの小定理の証明方法について
フェルマの小定理の証明は、ふつうは、二項定理と数学的帰納法、または、オイラーの定理を使うようです。以下の証明で、（式ａ）から（式ｂ）に移るのは妥当なのか、よくわかりません。
[蛇足]
フェルマの小定理より、オイラーの定理の証明のほうが簡単なのは違和感を感じるのですが・・・。フェルマの小定理の簡明な証明方法があったら、それも教えてほしいです。
●オイラーの定理
(a,m)=1のとき a^(φ(m))≡1 (mod m)
【フェルマの小定理】
a^(p-1)≡1 (mod p)
ただし、aは正の整数（←条件を、少し制約しました。）、pは素数、ａとｐは互いに素（(a,p)=1） とする。
■証明
数学的帰納法を用いる。
(1)a=1 のときは明らか。
(2)a=k のとき成り立つと仮定して、a=k+1のとき成り立つことを証明する。
言い換えると、mod p において、
k^p≡k ⇒ (k+1)^p≡k+1
を証明すればよい。
以下、合同式は mod p の場合のことを指す。
仮定より、
(k)^p≡k
(k)^p-1≡k-1
F(k)=k^(p-1)+k^(p-1)…+1
とおくと、
(k-1)・F(k)≡k-1
よって、
F(k)≡1
ところで、F(k)はp個の元から構成されており、
p-1
Σ(k^m)≡1 （式ａ）
m=0
と書き直せる。ここで、kをk+1に置き換えるが、加法+と乗法・を交換則、結合則、分配則をみたす演算子*とすると、
p-1
Σ((k)^m*(1)^m)≡1 （式ｂ）
m=0
と書ける。これより、
p-1
k・Σ((k)^m*(1)^m)≡k
m=0
p-1
(k*1-1)・Σ((k)^m*(1)^m)≡k
m=0
よって、
(k*1)^p-1≡k
書き直して、
(k+1)^p≡k+1
<証明終>
