中心極限定理の証明 exp{ (t^2)/2 }

質問

統計学入門で中心極限定理の証明を解いています。

添付画像をご覧ください。
証明の最後のところで
exp{ (t^2)/2 }になる計算過程を教えて下さい。

eの展開式のxに(t^2)/2を入れてみたのですが、
何か違う方向に行っているようです…。
全体をn乗しているのをどう再現すればいいのかも分かりません。
どうか教えて下さい。お願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

ここで使用されているのは、e^xのテイラー展開の式ではなく、自然対数eの定義のひとつ
e = lim(h→0) (1 + h)^(1/h)
です。
exp(t^2/2) の前に来ている式が
{1 + (t^2/2n) + (…)}^n
（…部分はn^(-2)以下のオーダーなので、極限を取る際に無視できる）
となっているため、
t^2/2n = h
と置き換えると
n = t^2/2h
となるため、この極限は
lim(h→0) (1 + h)^(t^2/2h)
= lim(h→0) { (1 + h)^(1/h) }^(t^2/2)
= e^(t^2/2)
となります。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。

なるほど、使う定義が違ったんですね。
さすがにこの式は丸暗記した方が良さそうですね。
それと、あの矢印→を見て極限を取るというのに気付けませんでした。
…部分は小さくなるので極限を取る際に無視していいんですね。
それまではΣで計算するのかと思っていました。
解くのに3時間掛かりましたが、偏に私の無知の賜物です。
ご回答ありがとうございました！