ラドンニコディムの定理の証明を教えてください。

質問

はじめまして。
ラドンニコディムの定理の証明がわかりません。以下、ルベーグ積分30講の204ページ抜粋です。

ボレル集合体B上で定義された測度m+νを考えます。この上でL^2空間L^2(m+ν)を定義します。νはmに関して絶対連続とします。
f∈L^2(m+ν)とします。このとき、
∫|f|dν≦∫|f|d(m+ν)=∫1*|f|d(m+ν)…

となるらしいのですが、この最初の不等式、
∫|f|dν≦∫|f|d(m+ν)
の意味がわかりません。
この不等式は何を根拠にして出てきたのでしょうか？？

理解が不足しているため、質問がきちんと成立していないかもしれませんが、どなたか回答お願いします。
必要であれば、随時補足いたしますので、よろしくお願いいたします。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

絶対連続だろうがなかろうが、ただ非負測度であれば成り立つ自明な結果です。

νとm+νという二つの測度を考えれば、任意のボレル集合Aに対して、
ν(A)≦m(A)+ν(A)
です。（ただしmが符号付速度の場合は破綻してしまいます。）なぜならm(A)≧0だから。したがって|f|が非負の階段関数(単関数)の場合は自明に、
∫|f|dν≦∫|f|d(m+ν)
です。一般のfに対しては、階段関数で近似すればよい。

ちなみにもっとシンプルに、一般に測度の和は再び測度になって、その積分は次のように表されます。
∫fd(m+ν)=∫fdm+∫fdν
これを使えば非常に自明な結果ですよね。

お礼

非常に明快な回答をいただき、ありがとうございました。
お礼が遅れたことをお詫びいたします。