積分の問題を教えていただけませんか。

質問

質問(1)<V>= 4π(m/2πkT)^(3/2)∫[0,∞]V^3exp(－mV^2/2kT)dV
=√(8kT/mπ)
こうなるようなのですが、これはなぜでしょうか？途中式など教えてください。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞質問(1)<V>= 4π(m/2πkT)^(3/2)∫[0,∞]V^3exp(－mV^2/2kT)dV
＞=√(8kT/mπ)
置換積分です。
（√m/2kT）Ｖ＝ｔとおくと、（√m/2kT）ｄＶ＝ｄｔ，Ｖ^3＝(2kT/m)^(3/2)ｔ^3，
ｄＶ＝(√2kT/m）ｄｔ，　Ｖ：0→∞のとき、ｔ：0→∞

<V>= 4π(m/2πkT)^(3/2)∫[0,∞]V^3exp(－mV^2/2kT)dV
＝4π(m/2πkT)^(3/2)・(2kT/m)^(3/2)・(√2kT/m）∫[0,∞]ｔ^3・exp(－ｔ^2)ｄｔ
積分（下の式でｎ＝３のとき）
∫[0,∞]ｔ^3・exp(－ｔ^2)ｄｔ＝(1/2)｛(3-1/2)！｝＝(1/2)・１！＝1/2だから、
＝4π(m/2πkT)^(3/2)・(2kT/m)^(3/2)・(√2kT/m）・（1/2)　約分して、
＝√(8kT/mπ)

以下の式により、積分値を求めればいいです。
∫[0→∞]ｔ^n・exp^(-t^2)ｄｔ＝（ｎ！√π）／｛２^(n+1)・(n/2)！｝（ｎが偶数のとき）
　　　　　　　　　　　　　　＝(1/2)｛（n-1/2）！｝（ｎが奇数のとき）
確認してみて下さい。

お礼

どうもありがとうございました！

回答No.2

NemurinekoNya

この積分のポイントは
∫[0,∞]v^3exp(-v^2/2α)dv
でしょう。
（α=kT/m)

t = v^2/2と置くと
dt = vdvになるので
∫[0,∞]v^3exp(-v^2/2α)dv
=∫[0,∞]v^2exp(-v^2/2α)vdv
=∫[0,∞](2t)exp(-t/α)dt

あとは部分積分をするだけなので、できるでしょう。

∫t*exp(-t/α)dt
= ∫t*(-α*exp(-t/α))'dt
= -αt*exp(-t/α) + α∫exp(-t/α)dt
= -αt*exp(-t/α) - α^2*exp(-t/α) + C

なので、直観的に
2∫[0,∞]t*exp(-t/α)dt
=2α^2
=2(kT/m)^2
かな。

なんかそれらしい形になってきたじゃない。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

部分積分して、正規分布の積分と同じ形にする。正規分布の積分範囲を正側だけに限った積分をすれば出てこないですか？