ｖ・∇ｖ＝1/2∇（ｖ・ｖ）-ｖ×（∇×ｖ）の証明

質問

ｖ・∇ｖ＝1/2∇（ｖ・ｖ）-ｖ×（∇×ｖ）の証明がわからず困っています。
ｖはベクトルです。
ベクトル三重積を使うのかと思いましたが、1/2が出てきますのでよくわかりませんでした。
ベルヌーイの定理の証明の途中で上記の式が出てくるので困っています。

わかる方教えてもらえないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.4

rnakamra · ベストアンサー

ｖ・∇ｖ＝1/2∇（ｖ・ｖ）-ｖ×（∇×ｖ）
は
(ｖ・∇)ｖ＝1/2∇（ｖ・ｖ）-ｖ×（∇×ｖ）
のことですね。

参照URLのサイトにある(27.6)の公式でA,Bにvを入れたものを変形したものです。

(27.6)の公式の証明は#1の方のおっしゃられる通り、x,y,zの成分に分けて計算するだけです。

参考URL：

http://homepage3.nifty.com/skomo/f22/hp22_27.htm

お礼

ご回答ありがとうございました。
証明できました。
他のご回答者様もありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

あ, #2 は全然違うこと言ってた. ごめん.

成分からすると, ∇ｖ のところは行列にしないとだめだ.

でも, 考えてみたらこの証明より前のどこかに「∇ｖ」の定義が出てこないとおかしいような気もする.

回答No.2

Tacosan

ナブラを使わずに書けば
v・div v = (1/2) grad(v・v) - v×rot v
(rot の代わりに curl でも可) となるわけだけど, これなら OK?

補足

ご回答ありがとうございます。
多分、そうかもしれません。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

わかるも何も、このての公式は
地道に成分毎に書き下して、
比較するだけだと思いますが
それはやったのでしょうか?

単純労働だと思いますよ。

補足

ご回答ありがとうございます。
申し訳ありません。成分毎にというのは一度x,y,zに成分をわけてから考えるということでしょうか。
また左辺のナブラvというのはどのように計算すればよいのでしょうか？このvがスカラーであれば勾配として理解することはできますが、vがベクトルで、さらに内積でも外積でもないので正直よくわかりません。
ベクトルに関しての理解がまたまだ未熟なので、教えて頂ければ幸いです。