無限和と留数定理について

質問

無限和を留数定理によって証明するやり方がわかりません。本には
1-1/3+1/5-1/7+...=1/2Σ(m=0,±1,...){(-1)^m/(2m+1)}=lim(n→∞)∫i/4*1/z*exp(izπ/2)/{exp(iπz)+1}dz
と書いてあるのですが、この間の式の変形の意味がわからないのです。どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

yaksa

積分経路がわかりませんが、式の形をみると、
z=2m+1 （m:整数）
が積分閉路の中に入っていればよさそうです。

そうすると、
特異点は、z=2m+1 （m：整数）
で全部１位の極です。
z=2m+1の留数は、
　Res = (-1)^m/(2m+1)/4πi
なので留数定理より、中辺と右辺の等号がなりたちます。