ミクロ経済学・大学１年の問題２

質問

再びわかりません＾＾；
私が馬鹿なのか、それとも教授が教えなさ過ぎるのか・・・。
（後者のほうであってほしい）

問＞効用関数U=Xⅰ・Xⅱ
　　予算制約Y=Pⅰ・Xⅰ＋Pⅱ・Xⅱ
　　における普通需要関数を求めよ。

これが問いなのですが、解き方は一応わかるのです。
教授が答えは黒板に書いてくださったので・・・。
でも、「ラグランジュ関数」とか、「最大化の１階条件」とか、
わけのわからない式・言葉ばかりで、ちんぷんかんぷんです。
普通需要関数というものさえ、よく理解できません。
わかりやすく説明してくださる方、お願いします！！！

回答No.1

a-tman · ベストアンサー

どうも、こんにちは。
ミクロ経済学の問題で苦戦なされているようですね。でも経済学なんてのは
多くの人にとって大学で初めて触れる学問ですので、その思考方法に慣れな
いうちは、わからなくて当たり前なんです。お気になさらぬよう。

おそらくその先生は数学的なとき方を教えてはるのでしょうが、これはその
問題を解く過程で出てくる意味不明な言葉どもの意味さえわかれば、決して
難しい問題ではないです。ですから、その言葉の意味を、僕の力の及ぶ範囲
でお教えいたいます。

ではまず「ラグランジュ関数」についてです。これはラグランジュ未定乗数
法と呼ばれるものに登場するもので、myou-myouさんが出されたような問題
を解く時に使うものです。で、ラグランジュ未定乗数法って、なんなの？と
思われるでしょうが…この際、そのやり方だけ覚えましょう！…アドバイス
になってない！と思われるかもしれませんが、その内容は、大学院レベルの
ものになってしまいます。だからというのも変ですが、はっきり言って、学
部レベルでその中身まで知る必要はありません。学部で問われる事はまずあ
りません。ここは機械的に覚えておいて、もし大学院に行かれることがあれ
ば、その時改めて考えればいいと思います。

次に「最大化の１階の条件」についてです。ここでは、効用関数Uについて、
XⅰとXⅱでそれぞれ偏微分した値がゼロになる、というものです。これだけ
ではなんのこっちゃわかりまへん、てことになると思いますが…。イメージ
しやすくするために、次のように考えてください。縦軸にU、横軸にXⅰをと
った平面図上に、グニャグニャ曲がりくねった効用関数が描かれている。こ
こで、UをXⅰで微分するとします。微分した値は図の上ではどう表されるか
というと、その微分した点での関数の傾き具合で表されるのです。そしてそ
の関数が最大になるポイントというのは、少なくともその傾きがゼロになら
ないとダメなのです。図で考えれば一目瞭然ですが。だから「最大化の１階
の条件」というのは、効用関数UについてXⅰとXⅱでそれぞれ偏微分した値
がゼロになる、というものなのです。（うーむ、文章じゃ伝えにくい…）
で、マメ知識として付け加えておくと、最大化の２階の条件、というものも
あって、それは効用関数UについてXⅰとXⅱでそれぞれ偏微分した値をさらに
XⅰとXⅱでそれぞれ偏微分し、その値がゼロより小さい、というものです。

最後、「普通需要関数」。わざわざ「普通」という言葉を冠しているのは、
後に学ぶ事になるであろう「ヒックスの需要関数」あるいは「補償需要関数」
と区別するためです。これらがどう違うのか、というと…
ある予算制約の下で効用を最大化するような財の組み合わせがあるとします。
この時の各財の購入量は、二つの財の価格と、所得の水準に依存します。です
から各財の購入（すなわち需要）量は、二つの財の価格と所得の関数として描
けるのです。つまり、第１財の需要量をXⅰ、第２財の需要量をXⅱとすると、
Xⅰ=Xⅰ(Pⅰ,Pⅱ,Y)、Xⅱ=Xⅱ(Pⅰ,Pⅱ,Y)
となるのです。ここで、それぞれの財の需要量は、違う財の価格水準にも依存
する事にも注意しておきましょう。これは、バターとマーガリンがあって、バ
ターの値段が下がったら、普段マーガリンを使っていた人が減る（つまりバタ
ーの価格が下がった事でマーガリンの需要量が減る）という例をイメージすれ
ばよいでしょう。
で、ヒックスの需要関数は、ある予算制約の下で効用を最大化して導出する普
通需要関数と異なり、ある効用水準の下で支出を最小化して導出するものです。
需要関数の形は
Xⅰ=Xⅰ(Pⅰ,Pⅱ,U)、Xⅱ=Xⅱ(Pⅰ,Pⅱ,U)
となるのです（括弧の中が違う）。

細かい説明は出来ませんが、こんなところでしょうか。web上でなければもっと
わかりやすくお教えできると思うのですが、ま、仕方ないですね…。
それでは頑張ってください。

お礼

たくさん書いていただいて、ありがとうございます！
しかし、正直、よくわからないですね・・・。
（あ、書いていただいたことは、おおよそ理解したつもりです＾＾；）
先輩に、経済学について質問したら、
「君はもうちょっと、理論を理解したほうがいいよ」、といわれてしまいました（汗）。
もう、先生にも頼ってられないので、よい参考書を求めて、自分でやっていこうと決めました。
gooの「教えて！」は活用していくつもりですけれどもね＾＾；
a-tmanさんが、返事をくださったことには、すごく感謝しています。
これからも、もしお暇でしたら、私の質問に答えてやってくださいね＾＾
本当に、どうもありがとうございました！！

回答No.2

moqmoqmoq

問＞効用関数U=Xⅰ・Xⅱ
　　予算制約Y=Pⅰ・Xⅰ＋Pⅱ・Xⅱ
　　における普通需要関数を求めよ。

ラグランジュ関数を使わなくても需要関数を求めることができます。
UのXiとXiiに関する偏導関数をそれぞれU[Xi]、U[Xii]とすると、

U[Xi]/Pi = U[Xii]/Pii

が成立します。つまり、財を１単位増加させるとき、１円あたりの
限界効用は２つの財で等しくなるということです。
たとえば、
U[Xi]/Pi ＞ U[Xii]/Pii
であれば、同じ１円を使うにしても、そのとき増加する効用は財１
の方が高いので、財１をより多く、財２をより少なく消費します。
不等号が逆であれば財２の方をより多く消費することになります。
２財の１円あたりの限界効用が等しくなるような状態で両財の消費
は無差別になります。
なぜなら同じ１円を使っても、そこから得られる効用が等しくなっ
ているからです。

これを前提にして需要関数を求めてみましょう。

すると、
Xii/Pi = Xi/Pii
となり、
Xi*Pi = Xii*Pii
これを予算制約式に代入すると、
Y = 2*Pi*Xi = 2*Pii*Xii
となり、需要関数
Pi = Y/(2*Pi)
Pii = Y/(2*Pii)
が得られます。

ちなみにラグランジュ関数を使うと、
L = Xi*Xii + λ(Y - Pⅰ・Xⅰ- Pⅱ・Xⅱ ) ;（λはラグランジュ乗数）
δL/δXi = Xii - λPi = 0
δL/δXii = Xi - λPii = 0
δL/δλ = Y - Pⅰ・Xⅰ- Pⅱ・Xⅱ = 0
上の２つの式からラムダをキャンセルすると、上記のプロセスと同じ
になります。

いかがでしょうか？

お礼

「いかがでしょうか？」
→「とってもわかりやすく、丁寧に書いてくださって、感激しています（涙）」
書くのに、面倒だったことでしょう・・・。
ホントに、こんなにわかりやすく書いてくれるなんて、しみじみとうれしく感じています。
ありがとうございました！！！