ミクロ経済学・大学1年の問題

質問

大学の授業で、いきなりこんな問題出されて困っています。

問＞次の効用関数における限界効用を求めよ。
　　（式が書けないので文字ですみません）
　　（１）u=5・かける・X（エックス）
　　（２）u=5・かける・Xの2乗
　　（３）u=5・かける・（X－1）の2乗
　　（４）u=(5・かける・X－1）の2乗

問＞次の効用関数において第一財に関する限界効用を求めよ。
　　（１）u=Xⅰ・Xⅱ　（エックス1・かける・エックス2）
　　（２）u=Xⅰ・Xⅱの2乗
　　（３）u=Xⅱ・（Xⅰ－1）の2乗

すっごい見にくくてごめんなさい！
突然問題出されて困ってます。
1問でもいいので、よろしくお願いします。

回答No.4

noname#1607 · ベストアンサー

以下、分かりにくかったら、すいません。また、かなり忘れているので、以下、間違っていたらごめんなさい。

数学的厳密性は一切無視いたしまして、一般に経済学で使う意味で申しますと、偏微分というのは、単に、２つの変数のうち、ひとつを変数でなく定数とみなして微分することを言います。

たとえばz＝xyという式で申しますと、これは独立変数はxとyの２つで、zは従属変数という式です。つまり、xをたとえば3と決めて、yをたとえば4と決めれば、zは自然に12と決まるという意味の式になります。このとき、zをxで偏微分するということは、yを定数としてみなしてxで微分するということを意味しています。つまり、yといえば普通は変数を意味しますけど、このときはyというのを数字として考えてしまうということです。つまり、微分のときに、z＝x・2をxで微分するとz'＝2だったように、z＝x・yをxで偏微分するというのは、yは数字とみなしてz＝x・yをxで微分するということを意味するので、z'＝yとなるんです。

これをご質問にありました２問目(1)に沿ってもうしますと、まずu＝xi・xiiというのは、第一財と第二財をかけた量が、効用であるという意味ですね。つまり、この人は第一財の量がたとえば2個で、第二財の量がたとえば3個なら、6の効用になるという人を表していますね。で、この問題の意味は「この人の第二財の量をたとえば3個とみなして、u＝xi・3という効用関数にしたとすれば、第一財の限界効用はいくらか」という問題なので、xiiをそのままxiiという数字とみなしてしまって、u＝xi・xiiを微分すればいいんですけど、これを一言でいうと偏微分と呼ぶというだけなんです。u＝xi・xiiをxiiを数字とみなしてxiで微分すれば、u'＝xiiですよね。

そして、いちいちxiiを3とかに直してしまうより、xiiという文字をそのまま使えば、xiiが3のときだけでなく、4のときでも5のときでも、偏微分の値がそのままxiiの関数として表せるので、u'＝xiiというように答えればOKなんです。

お礼

何度も書いていただいて、本当にありがとうございます！！！
大変わかりやすくて、かなり理解できました。
感謝、感謝です＾＾

回答No.3

UmenoMiyako

すいません、一番最後の問題間違えて理解しておりました。

答えは
２Xii（Xi-1)　ですので、
２Xii＊Xi-2Xii　ですよね。

回答No.2

noname#1607

かなり忘れているので、以下、間違っていたらごめんなさい。

限界効用とは、追加的１単位の効用を意味します。
よって、効用関数を微分すればOKです。
そこで微分すると、

　問＞次の効用関数における限界効用を求めよ。
　（１）u=5・かける・X（エックス） →答え5
　（２）u=5・かける・Xの2乗 　　　 →答え10X
　（３）u=5・かける・（X－1）の2乗 →答え10X－10

　（４）u=(5・かける・X－1）の2乗 →左の式はu=(5X－1)の2乗でしょうか？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 そうだとすると、答え50X－10

次の問題は、第２財の数量を変数でなく一定とみなして、
その上で、第１財の追加的１単位の効用はどれくらいか、
という意味なので、Xiiを一定とみなして、Xiで微分すればOKです。
数学的にいうと、Xiで偏微分すればOKです。
そこで偏微分すると、

　問＞次の効用関数において第一財に関する限界効用を求めよ。
　　（１）u=Xi・Xii　（エックス1・かける・エックス2） →答えXii
　　（２）u=Xi・Xiiの2乗 →答えXiiの2乗
　　（３）u=Xii・（Xi－1）の2乗 →答え2XiXii－2Xii

お礼

なるほど・・・。
・・・しかし、初歩的な質問だろうと思いますが、
「偏微分」というものが私にはわかりません＾＾；
はじめの問については理解できましたが。
もしよければ、偏微分について誰か説明してほしいです・・・（恥）。
９７ｒｋさん、どうもありがとうございました！

回答No.1

UmenoMiyako

こんにちは。
入門ミクロですね。

補足ですが、ミクロの入門書でおすすめは
岩田規久男先生の『ゼミナール・ミ
クロ経済学入門』日本経済新聞社がかなりおすすめです。
わかりやすく、かつ具体的な例が載っているので楽しいです。

さて、質問ですが。。。

限界効用とは何かと調べてみましょう。
限界効用とは、今ある消費しているしているが、その財の消費量を
ほんの少しだけ増やして見るとしましょう。（このほんのすこしだけ
増やすということを限界的に消費量を増やすと経済学ではいいます。）
実際に考えうる財とはたとえば、チョコレートだったり、紅茶だったり、
みかんだったりするわけです。
限界的に増やすという考え方はちょっと難しいかもしれませんが。。。

数学的に扱うときに便利なので、この限界的に、、、という
コンセプトが経済学では重要になってくるのです。

この経済学でいう限界的に増加するということは数学的には
つまり、微小な変化のもたらす結果を見る＝微分をするということなのです。
話がながくなりましたが、
微分を使えば、すべての問題は簡単に解けてしまうのです。
もっといば、限界的に増やしてみる財で微分するわけですから、
偏微分が使われるわけです。

ご自分でがんばってみてください。
とりあえず、
答えは (かけるのかわりに＊をつかいます）
1. 5
2. 10x
3. 10(x-1)
4 2*(5*x-1)=10X-2
最初の効用関数はU= (5*X-1)^2　でいいのですか？
　　　　　　　　U= ５＊(X-1)^2じゃないですよね。
答えは上のほうの式で求めてあります。

1 Xii
2.Xii^2 (二乗ということ）　
3. 2*(Xii-1)

ちょっと問題がわかりにくかったのですが、
2. 二乗は２財の方だけにかかっているとして、
3．２乗は２財マイナス１だけにかかっているとしてときました。

お礼

詳しい説明ありがとうございます＾＾
う～ん、答えだけ残して、あとはがんばれと言うのですね・・・（笑）。
とりあえず答えを参考にしてがんばってはみますね＾＾
どうもありがとうございました！