マクローリン展開と置換積分（∫xcosxdx）

質問

現在大学２年で理工学部で物理専攻しています。
そこで、
∫xcosxdx　　　－（＃）
についての質問なんですが、
（＃）=∫x(sinx)'dx
とおくと、高校数学の範囲で
（＃）=cosx+xsinx+C(積分定数)
とわかるのですが、
（＃）=∫(x^2/2)'cosxdx
とすると、nの偶奇によって最終項が変わりますが、
（＃）=cosx(x^2/2! - x^4/4! + x^6/6!　-・・・）＋sinx(x^3/3! - x^5/5! + x^7/7! - ・・・)　＋　∫(x^n/n!)sinxdx
もしくは
（＃）=cosx(x^2/2! - x^4/4! + x^6/6!　-・・・）＋sinx(x^3/3! - x^5/5! + x^7/7! - ・・・)　＋　∫(x^n/n!)cosxdx
となります。
マクローリン展開を使うと、
（＃）= cosx + xsinx - 1 + ∫(x^n/n!)cosxdx
or
（＃）= cosx + xsinx - 1 + ∫(x^n/n!)sinxdx
になります。
これがcosx+xsinx+C(積分定数)になるには最終項の積分が定数にならなくてはおかしいと思うのですが、この最終項が定数に収束することって証明できるのでしょうか？
または、この考察はどこか間違いがあるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.3

uzumakipan · ベストアンサー

こんばんは。ご質問についてですが、部分積分を行う度に積分定数が出てくるのです。
つまり、極限を考えるのは良いですが、積分をしているのだから積分定数が出てくるのです。ですから、Ｃ＝－１ではありません。

お礼

ありがとうございました。
理解しました。

回答No.2

uzumakipan

こんばんは。考察に間違いがありますね。

＞（＃）=cosx(x^2/2! - x^4/4! + x^6/6!　-・・・）＋sinx(x^3/3! - x^5/5! + x^7/7! - ・・・)　＋　∫(x^n/n!)sinxdx
＞マクローリン展開を使うと、
＞（＃）= cosx + xsinx - 1 + ∫(x^n/n!)cosxdx

n回しか部分積分を行っていないのに、

(x^2/2! - x^4/4! + x^6/6!　-・・・）

で無限和を考えてコサインのマクローリン展開をしていますね（サインも同様）。

だから、たとえば2n回部分積分する場合は

（＃）=cosx(x^2/2! - x^4/4! + x^6/6!　-・・・(-1)^(n+1)x^(2n)/(2n)!）＋sinx(x^3/3! - x^5/5! + x^7/7! - ・・・(-1)^(n+1)x^(2n+1)/(2n+1)!) - (-1)^(n+1)∫(x^(2n+1)/(2n+1)!)cosxdx＋C（積分定数）

といった感じですかね。

補足

申し訳ありません、言葉足らずでした。
n→∞として考たときの話です。
そうでないとマクローリン展開できませんから。
すると最終項の被積分関数が０に収束しますよねえ？
だから不定積分も０になります。
何が言いたいのかというと、n→∞のとき
（＃）= cosx + xsinx - 1
となって、私の質問の本文７行目の積分定数が、
C=-1
と限定されてしまいます。
積分定数は任意定数のはずなのに限定されるのはどういうことなのでしょうか？

回答No.1

endlessriver

あもろい！　ので考えで見ました。
等号は微妙ですが細かいことは無視して∫(x^n/n!)cosxdxが０に収束すればよいと思います。とゆことで
｜∫(x^n/n!)cosxdx｜≦∫(｜x^n｜/n!)dx≦｛｜ｘ｜＾（ｎ＋１）｝／（ｎ＋１）！
最後の式が０になるのは多分間違いないと。（現在酔っぱらい中）
{|x|/(n+1)}{|x|/n}{|x|/n-1}・・・{|x|/2}{|x|/1}十分大きいnとかとって。