積分を別の変数で微分するときの解き方

質問

F(y)=∫(x-y)p(x)dx (※積分範囲は0からy)

と定義されるF(y)をyで微分する場合の計算過程について質問させてください。

もし積分範囲に変数yが指定されていなければ,

F(y)=∫xp(x)dx - y∫p(x)dx

と考えて, yで微分すれば,

F’(y)= -∫p(x)dx　・・・式(１)

と解けるかと思います。

しかし、積分範囲にyがある場合、積分部分自体もyの変数になっているので、同じように解いてはいけないと私は考えていまして

P'(t)=p(t)
R'(t)=P(t)

とおいて, F(y)をP（t）とR(t)を用いて表現したあとにyで微分して求めました。
結果、式(1)と同じようになりました。

このような場合、積分範囲にyがある場合でも、定数として考えて微分してしまっていいのでしょうか？

質問の意図が分かりづらいかもしれませんが、上手く説明出来ません。
すいませんが、よろしくお願いします。

回答No.1

_info22_ · ベストアンサー

F(y)=∫[0→y]xp(x)dx - y∫[0→y]p(x)dx
のような場合を例にとると

G(x)=∫xp(x)dx, H(x)=∫p(x)dx とおけば
F(y)=G(y)-G(0)-y(H(y)-H(0))+C
F'(y)=G'(y)-H(y)+H(0)-yH'(y)
　=yp(y)-H(y)+H(0)-yp(y)
　=-H(y)+H(0)
　=-∫[0→y] p(x)dx
と確かになりますね。
これは
G(x)とH(x)の間に
G'(y)=yH'(y)
という特別な関係が成り立っている場合に限って成り立つのであって、

>積分範囲にyがある場合でも、定数として考えて微分してしまっていいのでしょうか？

が一般的に成り立つとはいえないでしょう。

お礼

ありがとうございます。
結果が同じになるのは特殊な例と理解しました。