exp(ikx)の積分

質問

exp(ikx)のマイナス無限大から無限大までの
積分の公式または方法はありますか？
iは虚数でｋは定数です。

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

それはδ関数になります。普通に積分しても答は出ません。

たとえば、

∫[-a→a] exp(ikx) dx = 2a [sin ka]/[ka] = 2a sinc(ka)

2a sinc(ka)は-∞から＋無限大までkで積分すると
aによらず面積が2πになる関数で、a→＋∞の極限をとったものを
2πδ(x)と書きます。これがδ関数です。なので、

∫[-∞→∞] exp(ikx) dx = 2πδ(x)

回答No.3

hitokotonusi

書き漏らしましたので追記です。

δ関数は、高さ∞、巾0、面積1の関数で、
ここで上げたsinc(kx)以外にもいろいろな関数の極限で表現できます。
より正確には関数ではなく超関数と呼ばれるものですが、
一般的な用途では関数と同列に扱われています。

デルタ関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/%CE%94%E9%96%A2%E6%95%B0
フーリエ変換＞フーリエ変換表 No.23
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B#.E5.88.86.E5.B8.83

お礼

デルタ関数ですか！
前に勉強したことがあるのですが、デルタ関数という響きだけ覚えています。
教科書引っ張り出してもう一度勉強します！
ありがとうございました！！

回答No.1

Mr_Holland

exp(ikx)　は次のように実部と虚部に分けることができます。

　　exp(ikx)＝cos(kx) + i sin(kx)

　cos(kx) や　sin(kx)　を　－∞～＋∞で積分するとどうなると思いますか。

　ｋ＝０のとき　cos(kx)＝１ や　sin(kx)＝０　での積分になりますので、積分値は　＋∞＋i０　となります。

　ｋ≠０のとき　cos(kx)もsin(kx)も　振幅１で振動を続けますので、積分値は不定になります。

お礼

やはり、そうですよね。
ありがとうございました！！