大学の数学のことで質問です（ってか問題解けません＞＜；；）

質問

問題
ｆ：A→B ｇ：B→Cとする。次の命題のうち正しいものは証明し、正しくないものには反例を挙げよ。

（１）ｆ、ｇが単射であれば、ｇ○ｆも単射である。

（２）ｆ、ｇが全射であれば、ｇ○ｆも全射である。

（３）ｇ○ｆが単射であれば、ｇも単射である。

（４）ｇ○ｆが単射であれば、ｆも単射である。

（５）ｇ○ｆが全射であれば、ｇも全射である。

（６）ｇ○ｆが全射であれば、ｆも全射である。

（７）ｆ、ｇが全単射なら、g○ｆも全単射で（ｇ○ｆ）の－１＝ｆの－１○ｇの－１

（８）g○fが単射であり、さらにｆが全射ならｇは単射

（９）ｇ○ｆが全射であり、ららにｇが単射ならｆは全射

ただしA,BCは集合を表します

の－１っていうのはインバースのことでｆの－１の場合
ｆの右上に小さく－１を書こうとしたのですがPCでは入力できない・・！？みたいな感じだったので
やむなく [の－１] と書きました(・・;)

回答No.2

B-juggler

もう試験も終わったでしょう。　どうでしたか？

代数学の非常勤講師です（今はダウン中）。

こうやって丸投げしても、誰も教えてはくれないね。

大学で勉強するのだから、自分でお金払って知ろうとしているのに

こんな質問の仕方ではダメだし（問題の羅列ね）、その前に調べてもないんじゃ

先が思いやられるな・・・。

ちょっと講義しようか。

単射・全射・全単射　これが分かっていないようなら、集合はお手上げだね。

授業で理解できてないともったいないよ（お金払ってるんだから！）。

下に簡単な絵を書いておきますね。

基本的に「全単射」は　「ｏｎｅ　ｔｏ　ｏｎｅ」だと覚えてね＾＾；

全部はやれないけど、写像の基本的なところは押さえようか。

（１）はやらないとね。

ｆ、ｇ　が単射　のとき、ｇ＊ｆ　は単射？

　＃記号はなんでもいいんだよ。合成でしょう？　だったら定義してあげればいいだけ。

＊　は　写像の合成とする　と定義します。　これでいいのよ♪～～

ｇ＊ｆ　は　どっちの写像が先になる？　これは基本だから間違えちゃいけない。

「記号よりあとを先にやるんだよ」！！　

（ｇ＊ｆ）Ｆ（ｘ）とかだと、先に　ｇ＊｛ｆＦ（ｘ）｝をやらないといけないよ。

ちょっとそれるけど、ここやっておこうか。

ａ：（２３）　二番目と三番目を入れ替えます　という　置換写像とします。
ｂ：（１２）　おなじく、一番目と二番目を入れ替えます　とします。

このとき　Ｖ（１２３）　について、　ｂ＊ａ　を考えるとします。

ｂ＊ａ　Ｖ　＝　ｂ＊　（ａＶ）　＝　ｂ（１３２）＝（３１２），，　となりますよ。

逆にやると、答え違うよ。確かめてみてね。

戻ります。ｆが単射なので　Ａ→Ｂ　が成立している。

そのあと、ｇも単射なので　Ｂ→Ｃ　が成立するね。

つまり、　Ａ→Ｃ　の単射が成立しているので、（１）は正しい。

（３）が曲者。

これね、Ａ→Ｃ　が単射のとき、Ａ→Ｂ　が単射？　と聞かれてることに気がついてね。

Ａ→Ｃ　が　単射　なんだから、Ｂは関係ないね？

全射でもいいわけです。　これも絵を付けますね。

ちょっと長くなるし、自分で理解できるところまではこれたと思うから。

σ(・・*)はお金もらうわけじゃないし＾＾；

わからなかったら教授に聴きに行くことだね♪

　＃連中はお金もらってるんだから、教える義務がある！

こういう代数を先にもやるのなら、ここでつまづいたのは

ある意味ラッキーだよ。スタート地点だから、代数学とはこういうものだと

気がつけるから。　もうやらないのなら、流してもいいけど、

結構知らないところで、でてきていたりするんだよ～～。

　＃さっきの順番替えみたいに。。。

では、あとはがんばってね～。　講義終わり。　お疲れ様～。

ｍ（＿　＿）ｍ

回答No.1

Tacosan

で何がわからないんですか?
基本的には「定義を満たすかどうか」を調べるだけ, ですよね.