フェルマーの小定理の証明過程について

質問

英語ですいません。
let p ≧ 1 be a prime and let a be a positive integer not divisible by p.

(a) Given any integer b in the set {1 , ...... , p-1}, explain why you know there is some x ∈ {1, .... , p-1} such that ax ≡ b (mod p).

(b) for a fixed b, is the x from question (a) unique? Prove that you are correct.

(c) show that the set {a, 2a, ....(p-1)a} is a complete system that you are correct.

(d) show that a^(p-1) * (p-1)! ≡ (p-1)! (mod p)

(e) show that a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

フェルマーの小定理の証明過程なんですが、小問(a)から敷居が高くてよくわかりません。
出来れば(a)から(e)までステップバイステップで教えてください。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

どこの本にも書いてありそうな証明だけど、見当たらなかったのかな。
それと、英文法はソレでいいの？

(a)
az≡0 mod p すなわち ∃n,az=pn となる z を考えると、
p が素数であり、a が p で割り切れないことから、z は p の倍数。
x,y∈{1, .... , p-1} かつ ax≡ay mod p と置くと、
a(x-y)≡0 mod p より x-y は p の倍数だが、
{1, .... , p-1} の中で差が p の倍数になるのは x=y の場合だけ。
以上より、x→(ax mod p) という写像は
{1, .... , p-1} 上の単射と判る。
ax≡b mod p となる x が無いとすれば、
x→(ax mod p) は定義域の元が n 個あり、値域の元が n-1 個以下
だから、単射にはなれない。よって背理法により、題意は成立。

補足

英文法というか問題はアメリカ人の教授にもらったやつなのであってると思います。