純粋にわからない問題(数学)

質問

大学生です。
早速質問です。

「ｎは自然数」
数列：a(n)＝∫＜０～１＞e^(-x) ｘ^n dx　のとき、
a(n)≦1/n+1 を証明する。

という問題なのですが、わかる方ご教示願います。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

(1) Σ＜ｋ＝0～∞＞1/k!　は幾ら？（分からなければ公式集を見よ。）
(2) (n+1)!Σ＜ｋ＝ｎ+1～∞＞1/k! と Σ＜ｋ＝1～∞＞1/k! ではどっちが大きい？
(3) 以上を使って(n+1)a(n) ≦ 1-1/e (ただしn=0,1,...)を証明せよ。
がんばれ。

お礼

ありがとうございます。
自分の説明不足でした。実はΣ＜ｋ＝0～∞＞1/k!＝e
の証明問題だったのでそれは使えなかったのです。
ほかの方法が見つかり、無事に解くことができました。
お付き合いくださった皆様ありがとうございました。

回答No.2

zyoi

a(n+1)＝∫＜０～１＞e^(-x) ｘ^(n+1) dx
＝[-e^(-x)x^(n+1)]<x=1,x=0>
+ (n+1)∫＜０～１＞e^(-x) ｘ^(n) dx

「∫＜０～１＞e^(-x) ｘ^(n) dx」 の部分がa(n)に等しいので、

a(n+1) =[-e^(-x)x^(n+1)]<x=1,x=0>
+ (n+1)a(n)
=-1/e + (n+1)a(n)

あとはa(1)を求め、普通の漸化式同様に解き、1/n+1 - a(n)を評価すればオッケーです。

補足

a(n)=((-1/eΣ＜ｋ＝１～ｎ＞1/k!)-1/e +1)n!
というのは求まったのですが、評価のしかたがわかりません。
できれば、そこを詳しく教えてください。

回答No.1

rnakamra

部分積分を行い、x^nの指数を1下げます。
すると多分、積分の部分がa(n-1)であらわすことができると思います。

a(n)の漸化式が求まりますのでそこから考えてみてはどうでしょうか。

補足

すばやいレスありがとうございます。
a(n)=na(n-1)-1/e という漸化式はすでにもとまり、
紆余曲折あってa(n)=((-1/eΣ＜ｋ＝１～ｎ＞1/k!)-1/e +1)n!
というところまでは求まっています。
ですがここから先がわからなくて困っています。見にくくてすんません。