線形微分方程式です

質問

y'+P(x)y=Q(x) ・・・ (1) 　　の一般解を求めるのに、特殊な場合 Q(x)=0 のとき、　y'+p(x)y=0 ・・・(2)　　の一般解から一般の場合の(1)の一般解を求めるという考えで(1)の解の公式を導け。

　解き方がさっぱり解りません。解る方がいたら宜しくおねがいします。

回答No.1

zzzzzz · ベストアンサー

「(Lagrangeの)定数変化法」で調べればいくらでも解説が出てくると思いますが。

(1)の解が１つ分かっているとして、これをy_0(x)と書くことにします。
（y_0をどのように求めるかは後回しにします）
このとき、(1)の解y=z(x)たちの集合Zと、(2)の解y=w(x)たちの集合Wの間には、次の対応関係がつきます。
・z(x)∈Zが与えられたとき、w(x)=z(x)-y_0(x)とおけば、
　w'(x)+P(x)w(x) = {z'(x)+P(x)z(x)} - {y_0'(x)+P(x)y_0(x)}
　= Q(x) - Q(x) = 0
　となるので、w(x)∈W（w(x)は(2)の解）が分かります。
・逆にw(x)∈Wが与えられたとき、z(x)=w(x)+y_0(x)とすることによって
　z(x)∈Zが分かります。
従って、(1)の解と(2)の解は１：１に対応していることが分かります。
これが、「(2)の一般解から(1)の一般解を求め」られる理由です。

(2)の一般解はよく知られているように
y(x) = C exp(-∫_{x_0}^x P(x)dx)
（Cは定数、∫_{x_0}^xはx_0からxまでの定積分）
（x_0は固定された定数）
で与えられますから、あとは（どんな方法であれ）特殊解y_0を１つ求めれば解けたことになります。

今、y_0(x)=C(x)exp(-∫_{x_0}^x P(x)dx)なる式を考えたとき、
これが(1)の解になる必要十分条件は、
C'(x)exp(-∫_{x_0}^x P(x)dx)+C(x){exp(-∫_{x_0}^x P(x)dx)}'+P(x)C(x)exp(-∫_{x_0}^x P(x)dx) = Q(x)
で与えられます。
さらに、y(x)=exp(-∫_{x_0}^x P(x)dx)が(1)の解であることを利用すると、これは
C'(x)exp(-∫_{x_0}^x P(x)dx) + C(x)×0 = Q(x)
C'(x) = Q(x)exp(∫_{x_0}^x P(x)dx)
と変形できます。
これを積分することにより、
C(x) = C_1 + ∫_{x_0}^x [Q(x)exp(∫_{x_0}^x P(x)dx)]dx
（C_1は積分定数）
が、上で与えたy_0(x)が(2)の解であるための必要十分条件、と分かります。
y_0は１つ分かれば良かったので、今はC_1=0とします。
すると、上のZとWの対応関係から、(1)の一般解は
y(x) = C exp(-∫_{x_0}^x P(x)dx) + y_0(x)
= {C + ∫_{x_0}^x [Q(x)exp(∫_{x_0}^x P(x)dx)]dx} exp(-∫_{x_0}^x P(x)dx)
となります。

お礼

ありがとうございます。しっかりと勉強していきたいと思います。