微分方程式

質問

y' =　(3x+y)/y

の一般解を求めたいのですが。

全微分を利用して解こうと思いました。
与式を変形して,

(3x+y)dx - ydy = 0

P(x,y) = 3x + y
Q(x,y) = -y

とおいて、∂P/∂y = ∂Q/∂xかどうかをみたのですが、
∂P/∂y = 1
∂Q/∂x = 0
で∂P∂y≠∂Q∂yとなってしまいました。

この問題はどうやって解くのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.3

inara · ベストアンサー

ちゃんと書きます。
微分方程式
　　　y' = ( 3*x + y )/y = 1 + 3*x/y --- (1)
において、t = x/y とおきます（ t は x の関数）。すると式(1)は
　　　y' = 1 + 3*t --- (2)
となります。t = x/y だから y = x/t なので、この両辺を x で微分すれば
　　　y' = ( x' *t - x*t' )/t^2 = ( t - x*t' )/t^2 --- (3)
式 (3) を式 (2) に代入すれば
　　　( t - x*t' )/t^2 = 1 + 3*t
　　　→ t - x*t' = t^2*( 1 + 3*t )
　　　→ t - t^2*( 1 + 3*t ) = x*t'
　　　→ 1/x = t'/{ t - t^2*( 1 + 3*t ) } --- (4)
となって、左辺は x だけの式、右辺は t だけの式になります。

式(4) の右辺の分母は
　　　t - t^2*( 1 + 3*t ) } = t - t^2 - 3*t^3
　　　　　　　　　　　　　　　= t*( 1 - t -3*t^2 )
　　　　　　　　　　　　　　　= t*{ -3*( t + 1/6 )^2 +13/12 }
　　　　　　　　　　　　　　　= t*[ { √( 13/12 ) }^2 - { √3*( t + 1/6 ) }^2 ]
　　　　　　　　　　　　　　　= t*{ √( 13/12 ) + √3*( t + 1/6 ) }*{ √( 13/12 ) - √3*( t + 1/6 ) }
　　　　　　　　　　　　　　　= t*( √13 + 1 + 6*t )*( √13 - 1 - 6*t )/12
と因数分解できるので式 (4) は
　　　1/x = 12*t'/[ t*( √13 + 1 + 6*t )*( √13 - 1 - 6*t ) ]
　　　　　 = t'/t - ( 1 - 1/√13 )/2*{ 6*t'/( √13 + 1 + 6*t ) } - ( 1 + 1/√13 )/2*{ - 6*t'/( √13 - 1 - 6*t ) }
と変形できます。右辺の { } 内の式は、分母を x で微分したものが分子になった形にしてあります。こうすれば { } を x で積分したものは ln| 分母 | になります。したがって上式の両辺を x で積分すれば
　　　ln| x | = ln| t | - ( 1 - 1/√13 )/2*ln| √13 + 1 + 6*t | - ( 1 + 1/√13 )/2*ln| √13 - 1 - 6*t | + C ( C は定数 )
となります。この式の t を x/y に戻せば以下の解となります。
　　　ln| x | = ln| x/y | - ( 1 - 1/√13 )/2*ln| √13 + 1 + 6*x/y | - ( 1 + 1/√13 )/2*ln| √13 - 1 - 6*x/y | + C
この後、ln をまとまたりとかいろいろ式変形できますが、どう変形しても y = や x = の形にはできないので、陰関数のままとします。

お礼

回答ありがとうございます

詳しい解説ありがとうございます
ようやく納得できました

ありがとうございました

回答No.2

inara

ANo.1 です。以下の文章に誤りがありましたので訂正します。
【誤】　このうち a/t + b*t/( 1 - t - 3*t^2 ) を x で積分するのは簡単ですが
【正】　このうち a*t'/t + b*t*t'/( 1 - t - 3*t^2 ) を x で積分するのは簡単ですが

【誤】　c/( 1 - t - 3*t^2 ) の積分は、分母を d*{ ( t + e )^2 + f } の形に変形して、t + e = √( f )*tan(θ) とおくことで積分できます（ このとき dt = √( f)*{ 1 + tan^2(θ) } dt )。
【正】　c*t'/( 1 - t - 3*t^2 ) の項は、分母が
　　　1 - t - 3*t^2 = 13/12 - 3*( t + 1/6 )^2
　　　　　　　　　　= { ( √13 )/( 2*√3 ) }^2 - { ( √3 )*( t + 1/6 ) }^2
　　　　　　　　　　= { ( √13 )/( 2*√3 ) + ( √3 )*( t + 1/6 ) }*{ ( √13 )/( 2*√3 ) - ( √3 )*( t + 1/6 ) }
と因数分解できるので
　　　1/( 1 - t - 3*t^2 ) = d/{ ( √13 )/( 2*√3 ) + ( √3 )*( t + 1/6 ) } + e/{ ( √13 )/( 2*√3 ) - ( √3 )*( t + 1/6 ) }
と変形できます（ d と e は定数）。この形なら
　　　c*t'/( 1 - t - 3*t^2 ) = c*d*t'/{ ( √13 )/( 2*√3 ) + ( √3 )*( t + 1/6 ) } + c*e*t'/{ ( √13 )/( 2*√3 ) - ( √3 )*( t + 1/6 ) }
となるので、これを x で積分すると
　　　∫c*t'/( 1 - t - 3*t^2 ) dx = ( √3 )*c*d*ln{ ( √13 )/( 2*√3 ) + ( √3 )*( t + 1/6 ) } - ( √3 )*c*e*ln{ ( √13 )/( 2*√3 ) - ( √3 )*( t + 1/6 ) }
となります。

【誤】　この解は
　　　ln( x ) + 1/2*ln( y と x の式 ) + √13/13*arctanh( y と x の式 ) = C
という形式になりますが、問題は合ってますか？
【正】　この解は
　　　ln( x ) + 1/2*ln| ( y^2 + x*y + 3*x^2 )/x^2 | + 1/√13*ln| { ( √13 + 1 )*x - 2*y }/{ ( √13 - 1 )*x + 2*y } | = C
となります。

回答No.1

inara

y' = ( 3*x + y )/y = 1 + 3*x/y
これを同次形 ( y' = f(x/y) ) といいます。この場合、t(x) = x/y とおくと変数分離形になります。

そうすると
　　t'/t/( 1 - t - 3*t^2 ) = 1/ x
となりますから、積分しやすいように左辺を
　　a/t + b*t/( 1 - t - 3*t^2 ) + c/( 1 - t - 3*t^2 )
と部分分数に分解します。

このうち a/t + b*t/( 1 - t - 3*t^2 ) を x で積分するのは簡単ですが、c/( 1 - t - 3*t^2 ) の積分は、分母を d*{ ( t + e )^2 + f } の形に変形して、t + e = √( f )*tan(θ) とおくことで積分できます（ このとき dt = √( f)*{ 1 + tan^2(θ) } dt )。

この解は
　　　ln( x ) + 1/2*ln( y と x の式 ) + √13/13*arctanh( y と x の式 ) = C
という形式になりますが、問題は合ってますか？。

お礼

回答ありがとうございます

問題はあっていると思うのですが、(模範解答はついていません)
なかなかに難しいですね。

理解するのに少し時間がかかりそうです。

ありがとうございました。