Clairantの微分方程式

質問

(y+1)p - xp^2 + 2 = 0　という問題で、
一般解： y = cx - 1 - 2/c　（c：任意定数）
と求まりましたが、特異解の計算で手こずっています。

x + 2/p^2 = 0 より p = ±(-2/x)^(1/2)　と出たのですが、プラスとマイナスのどちらを採用するのでしょうか。

p = (-2/x)^(1/2)　のとき　y = √(-2x) - √(2x) - 1
p = -(-2/x)^(1/2)　のとき　y = -1
と出ました。この場合、どちらも特異解になるのでしょうか。
クレローの微分方程式にまだ慣れていないので、判断がつきません。
ご教授願えませんでしょうか。

初歩的なことをお聞きしますが・・・
p = (-2/x)^(1/2)　のとき　y = xp - 1 - 2/p　より
y = x * (-2)^2 * x^(-1/2) - 1 - 2 * (-2)^(-1/2) * x^(1/2)
= x^(1/2) * (-2)^(1/2) - 1 - 2^(1/2) * x^(1/2)
= √(-2x) - √(2x) - 1
と計算したのですが、合っていますでしょうか。
(-2/x)^(1/2)　を　(-2)^(1/2) * x^(-1/2)　と分けても良いのですか。
式にマイナスが含まれているので、マイナスをどこに付ければ良いのかわからなくなりました。
他にも　(-2/x)^(1/2)　を　2^(1/2) * (-x)^(-1/2)　としても良いのでしょうか。

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

y = xp - 1 - 2/p　より(y+1)^2=(xp)^2+4/p^2-4x
x + 2/p^2 = 0 よりp^2を消せばよいです。x<=0に注意して。

あなたの方法でもp = ±(-2/x)^(1/2)　のプラスとマイナスのどちらも採用します。x<=0に注意すれば
x=-√(-x)×√(-x)となります。

お礼

ありがとうございました。

補足

(y+1)^2=(xp)^2+4/p^2-4x
上記の-4xはどこから出てきたのでしょうか。
与式を2乗して整理したのであれば、(y+1)^2 = (xp)^2 + 4/p^2 になりませんか。
p = -2/x　を代入して、(y+1)^2 = -4x　になりますよね。
∴y^2 = ±√(-4x) -1　になりませんか。

しかしNo.1様の解説通りに解くと、答えは
p = (-2/x)^(1/2)　のとき　y = √(-2x) - 2/√(-2/x) - 1
p = -(-2/x)^(1/2)　のとき　y = -√(-2x) + 2/√(-2/x) - 1
これらをまとめて、 y = ±{√(-2x) - 2/√(-2/x)} - 1
となりました。

回答No.1

narucross

こんばんは。
特異解は一般解では表せないもので、一般解で示される直線群の包絡線を表わしています。その意味ではy=-1は適さないように感じます。
そもそも、
＞p = (-2/x)^(1/2)　のとき　y = √(-2x) - √(2x) - 1
具体的な計算をしてはいないのですが、これはおかしいでしょう。
√の中身が負にはならないのだから、-2xか2xどちらかが負になるかどちらも０になるかしかないことになります。

＞(-2/x)^(1/2)　を　(-2)^(1/2) * x^(-1/2)　と分けても良いのですか。
-2/xで正の値を表しているのだから、分けたらだめでしょう。分けたら
(-2)^(1/2)など虚数を定義しないといけなくなります。

お礼

ありがとうございました。

補足

言われてみればそうですね＾＾；ご指摘ありがとうございます。

p = (-2/x)^(1/2)　のとき　y = √(-2x) - 2/√(-2/x) - 1
p = -(-2/x)^(1/2)　のとき　y = -√(-2x) + 2/√(-2/x) - 1
で合っていますでしょうか。
これらをまとめて、 y = ±{√(-2x) - 2/√(-2/x)} - 1　としても良いのでしょうか。