関数の連続性を調べる問題です。

質問

関数の連続性を調べる問題です。

f(x) = {2xsin(1/x)-cos(1/x) (x≠0)
　　　　{0 (x=0)

でx→0のときのf(x)の極限は発散するそうなのですが、
その示し方を教えてください。お願いします。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

f(x)の定義式の括弧{、}の記述によくわからないところがありますが、

x≠0で　f(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)　とのこととして考察すると,

右辺第1項は、-1<=sin(1/x)<=1　なので、x→0で0に近づきます。

右辺第2項は、t=1/xとおくと、lim_{t→±∞}cos(t)　を求めることに
なりますが、cos(t)のグラフの形状からわかるように、これは一定の値
には収束しません。

以上から,その極限は収束しません（発散します）。

お礼

ありがとうございます。

補足

ありがとうございます。

つまり
第一項は収束するが、第二項が収束しないため
結果的にf(x)は収束しないということですね？