関数の連続

質問

f(x)=　｛xsin1/x　　(x≠０)
　　　 {0 (x＝０）

関数は連続か？という問題で、
0≦|xsin1/x|≦｜x｜でlim(x→０)|x|=0　であるから
lim(x→０)｜xsin1/x｜=0
ゆえに、lim(x→０)xsin1/x=0・・・・・
と解いていくと思いますが0≦|xsin1/x|≦｜x｜の部分がよくわかりません。何でいきなりこんな式が出てくるのですか
よろしくおねがいします。

回答No.1

R_Earl

こういった問題は、『sinの絶対値が0以上1以下』という事実を利用しています。
これはsinの値を列挙すれば分かると思います。（-1 ≦ sinθ ≦ 1）
なのでその事実を数式で表してみましょう。

0 ≦ |sin(1/x)| ≦ 1　（ sin(1/x)の絶対値は0以上1以下 ）

さて、この不等式に|x|をかけます。0 < |x|ですから、
不等号の向きは変わらないので

|x|×0 ≦ |x|×|sin(1/x)| ≦ |x|×1
0 ≦ |x|×|sin(1/x)| ≦ |x|
∴0 ≦ |xsin(1/x)| ≦ |x|

となります。