微分可能と連続

質問

f(x)がx=aにおいて微分可能なら、x=aにおいて連続であることを証明せよ。

という問題で基本的なものだとは思いますが、模範解答の答えが理解できないので、それを教えてください。

lim(h→0)*{f(a+h)-f(a)}=lim(h→0)*{f(a+h)-f(a)}/h*h=f'(a)*0=0

この式において、最初のイコールの前の式=f(a)になれば連続だということは分かります。

でもこの式自体変形が成り立つことのほかにはよく分かりません。どなたか、教えてください。

回答No.3

jamf0421 · ベストアンサー

証明しなければならないのは
lim(h→0){f(a+h)-f(a)}=0 (1)
という式ですね。前提として”微分可能なら”といっています。ですからまず微分可能と言う条件を使います。即ち
{f(a+h)-f(a)}/h (2)
においてh→0ならばf'(a)に収束する、ということを使うのです。
さて、式(2)にhをかけてやれば
{(f(a+h)-f(a))/h}xh = f(a+h)-f(a) (3)
です。この右辺こそがh→0でゼロになることを示したい式です。
(3)から、
lim(h→0){f(a+h)-f(a)} = lim (h→0)[{f(a+h) -f(a)/h}xh] (4)
となります。そして右辺は二つのものの積です。h→0の極限にもっていった時、一つは微分でf'(a)という有限な値に収束し、もう一つはhそのものですからゼロに収束します。ですから積は直感的にはゼロに収束するように見えます。
ただ二つのものがそれぞれα、βに収束するとき、その積もαｘβに収束する、と言うのが自明には感じないのではないかと思いアドバイスを書いた次第です。

お礼

こんな僕にも理解することができました。

丁寧にありがとうございました。感謝します。

回答No.2

jamf0421

連続ということにつきましてはNo1さんのお答えのとおりですから、
lim(h→o){f(a+h)-f(a)}=0
を示せばよいわけです。
次の式はhで割ってhをかけただけで、{f(a+h)-f(a)}/hとhの積になっています。
lim{(f(a+h)-f(a))/h}h=lim(f(a+h)-f(a))/h x lim h (1)
に分けるところが気持ち悪いのかもしれませんね。
lim(f(a+h)-f(a))/h=lim A =α(αは収束値） (2)
lim h = β(βは収束値） (3)
とします。
αβ-Ah=(α-A)β＋A(β-h) (4)
ですね。収束する以上|β|<M, ｜A|<MとなるMがあるはずです。そうすると(4)は、
|αβ-Ah|<=M(|α-A|+|β-h|)
で、右辺はいくらでも小さくなります。よって（１）のようにlimの中味を二つのlimに分けられます。（あまり厳密でない証明ですみません。）
ひとつは微分係数に、もう一つはゼロに収束するので全体としてゼロになります。

補足

申し訳ありません。低脳のため、理解できません。一番の疑問は
lim(h→0)*{f(a+h)-f(a)}/h*h
の微分の定義式らしきものひなぜhをかけているのかです。問題文に「微分可能」という言葉があるので微分の定義式が出てくるのは理解できますが、なんでhをかけるのでしょうか。そうすると微分の定義式ではなくなりますよね。

もう一度よろしくお願いいたします。

回答No.1

rabbit_cat

連続の定義は、
lim(h→0)*{f(a+h)} = f(a)
ですから、
lim(h→0)*{f(a+h)-f(a)}=0
を証明すればいいわけですよね。