関数の連続性が苦手です。

質問

関数の連続性が苦手です。

いつまで経っても、理解があやふやなままです。
助けて下さい。

sin x　の連続性の証明(0<x<πならばsinx<xを利用する)で最終的に

lim[h→0]|sin(x+h)-sin(x)|<|h|
lim[h→0]|sin(x+h)-sin(x)|<0

という式ができました。
ここから先に進めません。

絶対値が0未満とかありえるのでしょうか？
そもそもｈは限りなく0に近づくのであって、lim[h→0]|sin(x+h)-sin(x)|≠0と考えるべきでしょうか？

その場合、０の点で不連続な気がします。

回答No.5

vingbing · ベストアンサー

> lim[h→0]|sin(x+h)-sin(x)|=0
> なら連続だと思っていたのですが…

> なんとなく理解できているつもりですが、厳密には理解できていません。

そのとおりです。

位相の問題はその辺がデリケートなのですが、
極限をとる前の不等号は
範囲を抑えているということで、
極限の先で、０＜。。＜０みたいなことになると
真ん中も０ということですね。

お礼

理解ができて、すっきりしました。ありがとう御座います！

回答No.4

koko_u_u

>よって| sin(x+h) ? sinx | < |h|
>lim[h→0]| sin(x+h) ? sinx | < 0
>
>です。

極限をとるときにもっと慎重になれば解決ですね。
あるいは最後のステップは極限の定義から明らか、でもよいでしょう。

お礼

ありがとう御座います。何とか解けそうです。
もっと極限の理解を深めないとダメですね・・・

回答No.3

Tacosan

そもそも
lim[h→0]|sin(x+h)-sin(x)|<|h|
という式からしておかしいのだが.... 左辺にはない h が, なんで右辺にいるの?

補足

左辺：|sin(x+h)-sin(x)|
右辺：|h|

sin(x+h)の括弧の中がx+hです。
どうでしょうか？

回答No.2

vingbing

関数の連続をなんと理解されていますか？

lim[h→0]|sin(x+h)-sin(x)|<0

がまさに、Xにおいてsinxが連続だということの定義です。

補足

lim[h→0]|sin(x+h)-sin(x)|=0
なら連続だと思っていたのですが…

なんとなく理解できているつもりですが、厳密には理解できていません。

回答No.1

koko_u_u

>絶対値が0未満とかありえるのでしょうか？

どういう文脈でその式がでてきたのか、まったくわからないので回答不能です。

お礼

補足で記号の－が？に文字化けしてしまいました。
申し訳ありません。

最近よくkoko_u_uさんから回答いただいてます。
有難うございます。

補足

すみません、書けばかなり長くなるので要点だけ、
| sin(x+h) ? sinx | = | 2cos(x+h/2) * sin(h/2)|　(加法定理)

| 2cos(x+h/2)sin(h/2)|≦2|sin(h/2)|　(cosθ<=|1|)

2|sin(h/2)|<2|h/2|=|h| (sinx<x)

よって| sin(x+h) ? sinx | < |h|
lim[h→0]| sin(x+h) ? sinx | < 0

です。