数III 数列の極限 超初歩的でごめんなさい。

質問

公比ｒ≠－1の時、lim n→∞の１－rのn乗/１＋rのn乗の極限値を求めよ

この時のｒの範囲の取り方がわかりません。

私はr＜－1の時とr＞－１と取りましたが、答えは
r＜－1、－1＜r＜1、r＝0、r＞1となってました。
なぜこんなに区別しないといけないのでしょうか？
初歩的な質問でごめんなさい。
よろしくお願いします。

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

Sn=(1-r^n)/(1-r)の極限と思います。
Snの極限値をrの値で分けるのはrの値によって、極限値が異なるからです（実体はr^nの極限）。

しつこく言えば、すべてのrに対して極限値を一般的に表す（１つの式で）ことはできないからです。

したがって、分け方は表現の仕方により、わずかの差があります。

回答No.3

tekcycle

解けなかったのですから、後づけで構いませんので、色々ｎやｒに代入して様子を見てください。
やってみさえすれば、結構単純な話であることは見えると思います。
しかし、問題は「場合分けをしっかりする」事にあるのだろうと思いますが如何でしょう。
それには色々と代入してみないときが付かないこともあるだろうし、そういう経験を積むと、ｒの正負には気付くだろうし、ｒ^nの極限を考えて、これが発散する場合と収束する場合、つまり｜ｒ｜が１より大きいか小さいか、についても気付くことになるのではないかと思います。
場合分けの公式なり解法なりを考えるより、行き当たりばったりにまず代入して様子を見てみることを考える方が良いと思います。

回答No.1

ccyuki

rのn乗の収束、発散を考えてみて下さい。
r＜－1　のときはプラスになったりマイナスになったりして発散(振動)しますよね。
次に　－1＜r＜1　のときは　0　に収束するし
　r=1　のときは　1に収束します。
　最後に　r>1　のときは　+∞に発散します。
このことを考えて場合分けします。