不定積分ができません。

質問

ある数学の参考書に次のような記述があります。

√(1+U^2)の不定積分は　U =　(E^t - E^(-t))/2　と置いて置換積分法を使うのがもっとも賢明です。
そのとき、積分の根号の中は完全平方式となり、結果は

∫√(1+U^2)du　=　( U√(1+U^2) + log(U + √(1+U^2)) )/2

になります。

とありますが、この答えを導くことが出来ません。（根号の中が完全平方式になるのは解ります。）
わかりやすく解説していただけないでしょうか。

数式の表現が拙劣でわかりにくいかと思いますが、よろしくお願いします。

回答No.3

spring135

要するにtによる置換積分に持ち込みます。

u=(e^t-e^(-t))/2　　　　(1)

x=e^tとして

u=(x-1/x)/2

xについて解くと

x=u±√(u^2+1)

x>0とするため

x=u+√(u^2+1)

を採用

t=log(x)=log(u+√(u^2+1))　　(2)

(1)より

u^2+1=[(e^t+e^(-t))/2]^2

√(u^2+1)=(e^t+e^(-t))/2 (3)

(1)より

du/dt=(e^t+e^(-t))/2

du=(e^t+e^(-t))dt/2 (4)

(3),(4)を積分の式に代入する。

∫√(u^2+1)du=∫[(e^t+e^(-t))/2]^2dt

=∫[(e^2t+e^(-2t)+2)/4]dt

=t/2+[e^(2t)-e^(-2t)]/8

e^(2t)-e^(-2t)=e^(2t)-1/e^(2t)=[e^(4t)-1]/e^(2t

=[e^(2t)-1][e^(2t)+1]/e^(2t)

=[e^t-e^(-t)][e^t+e^(-t)}=4u√(u^2+1) (5)

積分の式に(2)、(5)を代入

∫√(u^2+1)du＝[u√(u^2+1)+log(u+√(u^2+1))]/2

お礼

ありがとうございました。なんとか理解できました。もう一人の方の解答と同じだとおもいますので、ベストアンサーの選定は遠慮させていただきます。

回答No.2

info22_

U,Eは小文字を使う。
>√(1+u^2)の不定積分は　u=(e^t -e^(-t))/2　と置いて置換積分法を使うのがもっとも賢明です。
uを双曲線関数で表すと
u=(e^t -e^(-t))/2=sinh(t)となります。
du=cosh(t)dt
√(1+sinh^2(t))=√(cosh^2(x))=cosh(x)(>0)
I=∫√(1+u^2)du=∫cosh^2(t)dt
公式cosh^2(t)=(1/2)(cosh(2t)+1)より
I=(t/2)+(1/4)sinh(2t)
=(t/2)+(1/2)sinh(t)cosh(t)
=(1/2)sinh^-1(u)+u√(1+u^2)+C
これはこのままでいいですが
公式sinh^-1(u)=log(u+√(1+u^2))を使うと
I=u√(1+u^2)+log(u+√(1+u^2))+C
とも書けます。
双曲線関数sinh,coshについては参考URL参照して下さい。

双曲線関数を使わない方法は
u=sinh(t)≡(e^t-e^(-t))/2のe^tとe^(-t)で表す方法を使えば良い。
du=(e^t+e^(-t))/2 dt
√(1+u^2)=(1/2)√(4+(e^t-e^(-t))^2)=(1/2)√((e^t+e^(-t))^2)
=(1/2)(e^t+e^(-t))
I=∫√(1+u^2)du
=(1/4)∫(e^t+e^(-t))^2 dt
=(1/4)∫e^(2t)+e^(-2t)+2 dt
=(1/8)(e^(2t)-e^(-2t))+(t/2)+C
=(1/8)(e^(t)-e^(-t))(e^(t)+e^(-t))+(t/2)+C
ここで
(1/8)(e^(t)-e^(-t))(e^(t)+e^(-t))
=(1/2)((e^(t)-e^(-t))/2)√((1/4)(e^(t)+e^(-t))^2)
=(1/2)((e^(t)-e^(-t))/2)√((1/4)((e^(t)-e^(-t))^2+4))
=(1/2)((e^(t)-e^(-t))/2)√(((e^(t)-e^(-t))/2)^2+1)
=(1/2)u√(u^2+1)
2u=(e^t-e^(-t))より
　e^(2t)-2ue^t-1=0
e^t>0より
　e^t=u+√(u^2+1)
　t=log(u+√(1+u^2)
したがって
I=(1/2)u√(1+u^2)+(1/2)log(u+√(1+u^2)+C
=(u√(1+u^2)+(1/2)log(u+√(1+u^2))/2+C
となります。

お分かりになりました？

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0

お礼

ご回答ありがとうございました。おかげさまでなんとか理解できました。

回答No.1

alice_44

そお？
u = tan t の方が簡明じゃない？