ジョルダン標準形のKer(f-αI）について

質問

今ジョルダン標準形の勉強をしているのですが、
「・・・Ker(f-αI)を固有空間といい・・・」
と書いてあるのです。

でもこのKerってなんていう文字の略で、
どういうどういうものなのでしょうか？
・・・つまり、div(f-αI)みたいになんらかの計算をするための文字なのでしょうか？
それともKer(f-αI)と書いて固有空間を表すというだけの意味なのでしょうか？

ネットで探してもそこのところがよくわかりませんでした；
よろしくお願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

Kerというのは、ある部分集合を表す記号です。英語ではkernel,日本語では核と言います。

具体的には、ベクトル空間Ｖからベクトル空間Ｗへの線形写像Ｔについて、
KerＴ＝{x∈v|Ｔx=0}　　※右辺の0はＷのゼロベクトルです。
と定義されています。
※Ｔの線形性からKerTは、Ｖの部分空間となります。

要するに、線形写像Ｔで移すと、ゼロベクトルに潰れてしまう元を寄せ集めたもの、ということです。

上の定義を使えば、x≠0の時、
x∈Ker(f-αI)である事と、xがfの固有値αの固有ベクトルである事は同値である事が分かると思います。
従って、Ker(f-αI)が固有値αの固有空間を表わす事になります。

お礼

お返事ありがとうございます。
なるほどー。
よくわかりました。

あと、対角化できないケースというのは、
固有値に重解があってなおかつ、対象行列でない行列と思ったら良いのでしょうか？

回答No.4

ojisan7

Kernel（核）は線形空間だけでなく、一般的に代数学で広く使われる概念です。Kerの意味については、＃１、#２、＃3さんの回答を参考にしてください。しかし、固有空間を定義するのに、わざわざKerを使う、というのも「数学」らしいというか、簡単な概念を難しく表現するという意味で、いやらしさを感じているのは、わたしだけでしょうか？

それから、行列Aが対角化可能であるための必要十分条件は、特性方程式の個々の根（固有値）の重複度が固有空間の次元に一致することです。ユニタリー行列で対角化する場合は、＃２さんが述べているように、正規行列であることが必要十分です。

回答No.3

kimkat

>あと、対角化できないケースというのは、
>固有値に重解があってなおかつ、対象行列でない行列と思ったら良いのでしょうか？

そんなことはありません。

>今ジョルダン標準形の勉強をしているのですが、
>「・・・Ker(f-αI)を固有空間といい・・・」
>と書いてあるのです。

と書いてあるので、それに対する答えの部分の近くを読んでいるんだろうと思います。ヒントは固有空間の次元と関係します。あとは教科書を読んでください。

回答No.2

eatern27

>あと、対角化できないケースというのは、
>固有値に重解があってなおかつ、対象行列でない行列と思ったら良いのでしょうか？

固有値に重解がある対称でない行列も対角化できるケースはあるんじゃないかなぁ。

とりあえず、行列Ａが対角化できるための必要十分条件は、Ａが正規行列である事です。
※正規行列とは、Ａの複素転置(実行列なら単なる転置でいい)をＡ†としたら、ＡＡ†＝Ａ†Ａが成り立つ行列です。