なぜ期待値の計算はそんなに面倒なの？

質問

数学Aの期待値についてです。
問：高価を３枚投げて表が出る枚数の期待値を求めなさい。

答：３枚出る確率　１／８
　　２枚　　　　　３／８
　　１枚　　　　　３／８
　　０枚　　　　　１／８

１／８×３＋３／８×２＋３／８×１＋１／８×０＝３／２

これで答が出るのはわかりますが、
１／２×３＝３／２としてはいけないのでしょうか？

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

勉強の基礎段階では
定義にしたがって処理するのがよいと思います．
結論としては，1/2 * 3 = 3/2は正当化されますが，
なぜ正当化されるのか理解できないと
なんでもかんでもそういう計算で
処理して間違えることになります．
もっとも，1/2 * 3 でとけるということに
気がつくということ自体は立派なことだと思います
実際は、解き方に迷ったときは定義に戻って処理すると
その過程でスマートな方法に気がつくこともよくあるますし，
定義を理解するのは最重要です．
そういう意味でNo.3さんに同意です．

No.2さん：
>１枚の硬貨を投げて表がでる確率は、１／２　期待値も１／２
>３枚の硬貨は、それぞれ独立しているので、１／２×３
>ですから、私はいいかとおもいます。
試みにやってみると・・・
i回目に表がでると1，裏がでると0となる確率変数をXiとする
求める期待値は確率変数X1+X2+X3の期待値である．
E(X1+EX2+X3)=E(X1)+E(X2)+E(X3)=1/2 + 1/2 + 1/2 = 3/2
したがって，答えは 3/2
期待値の線形性で「和の期待値」を「期待値の和」にして
各事象は独立だから各E(Xi)はそれぞれ1/2となるという流れです．
こういう事情を理解して処理するなら問題ないですが，
そもそもの出発点で定義を学習する段階で
こういうものを使うのは勉強という意味では駄目でしょう
＃これは4*5と5*4を「違う」という最近の小学校の教え方の
＃話のレベルとはまるで違います．

No.1さん：
>他の問題にも応用できるようにするために汎用性を持った公式
>期待値=Σ(値 * その値をとる確率)）
ちがいます．
これが期待値の定義であって公式ではありません．
積分で書けば
確率空間を(Ω，F，P)と書いたときに確率変数Xの期待値の定義が
∫_Ω X(ω)dP(ω)です．これを有限のケースに置き換えたのが
期待値=Σ(値 * その値をとる確率)）です．
＃有限集合Ω，F=Ωのベキ集合，P=``counting measure''として
＃ルベーク積分で処理するという方が正確かな

回答No.5

mmky

数学では、一般的に何通りかの方法で同じ解を得ることが出来ます。そこで質問者がどのような回答を期待するかによって問いの文章が決まります。例えば、以下のように解は同じでも問い方が違えば回答の方法も異なるわけです。こういった文章読解力も数学では大切なことなんですね。
問：硬貨を３枚投げて表が出る枚数の期待値を求めなさい。
問：硬貨を３枚投げて表が出る枚数の期待値を求めなさい、ただし
各事象は独立とする。

お礼

素早い回答ありがとうございました。
積分はまだ習ってないので詳しくはわかりませんが、
そのうちわかるようになる、と。

回答No.3

Ichitsubo

その問題に限って言えば、
(1/2)*3＝3/2
としてもよいでしょう。

しかし、定義どおりに考える訓練をする段階でそのようなたまたま計算の合うテクニックを用いることは避けた方がよいかと思います。

回答No.2

sapporo30

１枚の硬貨を投げて表がでる確率は、１／２　期待値も１／２
３枚の硬貨は、それぞれ独立しているので、１／２×３
ですから、私はいいかとおもいます。

が、学校のテストでは、５×４　と　４×５は違う
と教えているようですので、何ともいえません。

回答No.1

tantan5555

この問題に関しては、1枚あたり1/2回の表が出ると考えて(ですよね？)、1/2 * 3 = 3/2で問題なしです。
他の問題にも応用できるようにするために汎用性を持った公式
期待値=Σ(値 * その値をとる確率)）
があるんでしょうね。
例えば量子力学では、この公式のΣを∫(積分記号)に置き換えたものをガンガン使います。