確率の期待値について

質問

問

赤、青、黄、緑の4色のカードが5枚ずつある。各色のカードには、それぞれ１から５までの番号が一つずつ書いてある。この20枚のカードの中から3枚を一度に抜き出す。
3枚の中にある赤いカードの期待値はいくらか。

実際はこの前に設問があるのですが、質問に関係ないので省きました。僕は設問どおりに解き進めてこの問題もそこまでの計算結果から赤いカードが1枚の時、2枚のとき...とやって普通に解いたのですが、解答の別解に

「一枚を取り出すときの赤いカードの枚数の期待値は１／４であるから、求める期待値は３／４である（数学B・確率分布）」

と書いてありました。すでに確率分布は習ったのですが、こんな公式（？）は見たことも聞いたこともありません。基本定理なのでしょうか？またどういうパターンの問題で、どういう考えでこのような計算を使えるのかでしょうか？アドバイスお願いします！

回答No.2

thetas · ベストアンサー

基本定理かどうかは、疑問ですけど、回答します。

「３枚同時に取り出す」ことを
「１枚取り出すことを、もとにもどさずに、３回行う」と読みかえます。
３つの確率変数を定義します。
Ｘ・・１回目の取り出したカードの赤の枚数
Ｙ・・２回目の取り出したカードの赤の枚数
Ｚ・・３回目の取り出したカードの赤の枚数
つまり、赤であれば１、そうでなければ０となります。

このとき、
Ｅ（Ｘ）＝Ｅ（Ｙ）＝Ｅ（Ｚ）＝１／４
となります。

そして、
Ｅ（Ｘ＋Ｙ＋Ｚ）＝Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（Ｙ）＋Ｅ（Ｚ）
なので、（期待値の和の公式）
求める期待値は、３・Ｅ（Ｘ）となります。

概要は、こうなります。

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

noname#24477

１枚ずつ取りだしては戻し、n回くり返すときは
二項分布になり、その期待値は np になりますが
実は御質問の場合も同じ式で計算ができます。

高校では二項分布や正規分布を中心に学習しますので
それ以外の場合についてはあまり公式にしてないように
思います。最近確率についてやっていないので教科書にあったかどうか覚えていません。

お礼

ありがとうございます！