サイコロを振る回数の期待値が解らず、困っています。

質問

A, B二人が、まずAから初めて交互にサイコロを振り、最初に６の目が出た方が勝ちであるとする。勝負が決まるまで試行を繰り返すものとする。

問．勝負が決まるまでに（最初に６の目が出るまでに）サイコロを振る回数の期待値を求めよ。

という問題が解けなくて困っています。Aが勝つ確率が1/6ということは分かるのですが、これをどう使って答えを導くのか分かりません。
どなたかこの問題が解ける方いらっしゃらないでしょうか？

回答No.3

Ishiwara

まず、「２人」でなく「１人」と考えます。
要するに、その１人が、６が出るまで振りつづければいいのでしょう。

１回で決まる確率＝（１/６）
２回で決まる確率＝（５/６）*（１/６）
３回で決まる確率＝（５/６）*（５/６）*（１/６）
４回で決まる確率＝（５/６）*（５/６）*（５/６）*（１/６）
以下同様です。
それぞれ背反事象だから、回数の期待値は
１*（１/６）
＋２*（５/６）*（１/６）
＋３*（５/６）*（５/６）*（１/６）
＋４*（５/６）*（５/６）*（５/６）*（１/６）
＋‥‥
あとは級数の和を求めるテクニックですから、詳細は省略します。
上の式をＡとおき、両辺に（５/６）を掛け、掛ける前の式と比較‥
という方法で隣接項の相殺を考えてみてください。

でも、実は、もっとすごい方法があります。
期待値をＥとします。最初に６が出れば実現値は１で確定です。しかし確率５/６で、６が出ません。そのとき、その時点から先の期待値もやはりＥです。しかしすでに１回振ってしまっているので、スタート時点から見れば「最初６が出ない道をたどる場合の期待値」はＥ＋１です。
すると、スタート時点で見ると、確率１/６で回数は１となり、確率５/６で回数期待値はＥ＋１となるのですから、
１×（１/６）＋（Ｅ＋１）×（５/６）＝Ｅ
が成立します。
そこで、Ｅの値は６です。

さらにもっとすごい方法があります。
無数に多くの人が、１円もらってサイコロをふります。６が出れば競技を継続できます。
主催者は、（期待値として）いくらの資金を用意すべきでしょうか。
答えは、参加者１人あたり６円です。
この問題と「等値」であることを見抜くには、数学的直観力を必要としますが。

お礼

とても分かりやすい回答ありがとうございます。
おかげで問題を解くことができました。

回答No.2

naniwacchi

もう少し大雑把なイメージを記しておきます。
ご参考まで。

期待値は、「振った回数」なのでAもBも含めた回数の期待値を計算すればよいです。
回数nを確率変数として考えます。
最後にn→∞の極限をとると「なるほど！」という期待値が出ます。

Aの勝つ確率ですが、それぞれの操作はAもBも平等なので、
単純には1/2かな？と検討がつきます。（大雑把なところです）
唯一、Aが先攻であることが優位性を持たせています。
#1さんの回答で与えられた和を計算すると、優位性が見えてきます。
和の計算は、数列の応用の範囲になります。

回答No.1

arrysthmia

Aが勝つ確率は1/6じゃないよ。
1回目でAの勝ちが決まる確率が1/6で、
2回目以降にAが勝つこともあるのだから。
n回目に勝負が決まる確率は (1/6)(5/6)~(n-1)。
nが奇数のときAの勝ちで、
偶数ならBの勝ち。
Aが勝つ確率は、Σ[n=1,3,5,…](1/6)(5/6)~(n-1)。
等比級数だね。

お礼

な、なるほど…。
簡単に考えすぎてました＞＜
回答ありがとうございます。