期待値

質問

A,B2人がゲームをして、先に３勝した方を優勝とする。各回のゲームで、Aの勝つ確率を2/3、Bの勝つ確率を1/3とするとき、どちらかが優勝するまでのゲーム数の期待値を求める問題です。
誰か、教えてください。

回答No.3

hyeon

Ａが3連勝－（2／3)＾3
Ａが3勝1敗－（2／3）＾3×（1／3）
Ａが3勝2敗－（2／3）＾3×（1／3）＾2
Ａが2勝3敗－（2／3）＾2×（1／3）＾3
Ａが1勝3敗－（2／3）＾1×（1／3）＾3
Ａが3連敗－（1／3）＾3
ゲームは5回までなので期待値が5を越えることはありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.2

sanori

---
＜注意書き＞
この回答は、私自身がこの問題を楽しむついでに、Ｎｏ．１さんの計算方法を解説しただけなので、絶対に私に２０ポイントはやめてください。
---

では、本題。

(1)A-3連勝（３試合）
2/3*2/3*2/3 = 8/27

(2)A-3勝 B-1勝（４試合）
Ａが２勝１敗になってからＡが１勝する確率である。
まずＡが２勝１敗になる確率は
2/3*2/3*1/3* 3C2 = 2/3*2/3*1/3*3 = 4/9
その後Ａが１勝する確率なので
4/9*2/3 = 8/27

(3)A-3勝 B-2勝（５試合）
２勝２敗になってからＡが勝つ確率である。
まず２勝２敗になる確率は
2/3*2/3*1/3*1/3* 4C2 = 2/3*2/3*1/3*1/3*4*3/2 = 8/27
その後Ａが１勝する確率なので
8/27*2/3 = 16/81

(4)B-3連勝（３試合）
1/3*1/3*1/3 = 1/27

(5)A-1勝 B-3勝（４試合）
(2)と同じ考え方で
2/3*1/3*1/3* 3C1 * 1/3 = 2/27

(6)A-2勝 B-3勝（５試合）
(3)の計算途中で２勝２敗の確率が8/27だったので
8/27*1/3 = 8/81

この後は、Ｎｏ．１さんの最後の１行に同じ。

---
感想
(2)の計算途中で、最初の３ゲームで、Ａが２勝１敗になる確率が５０％近くと意外に高くて、ちょっと驚きましたが、Ｎｏ．１さんのご回答のおかげで安心できました。（笑）
では。

お礼

とても詳しい解説ありがとうございます。

回答No.1

ryoppemag

計算を省略しますが、
(1)A-3連勝 → 8/27 3試合
(2)A-3勝 B-1勝 → 8/27 4試合
(3)A-3勝 B-2勝 → 16/81 5試合
(4)B-3連勝 → 1/27 3試合
(5)A-1勝 B-3勝 → 2/27 4試合
(6)A-2勝 B-3勝 → 8/81 5試合

となるので後は 確率*試合数を足します
3*8/27 + 4*8/27 + 5*16/27 + 3*1/27 + 4*2/27 + 5*8/81

お礼

即答ありがとうございます。