積分問題

質問

∫0～t log{1+θ(t-θ)}dθ　においてtが一定の値なら、解も一定であることを言いたいのですが、∫0～t log{1+θ(t-θ)}dθ　＝∫0～t log{1+θt-θ＾2}・１dθ　＝∫0～t log（1+θt-θ＾2）・(θ)'dθ　＝[log（1+θt-θ＾2）θ]0～t－∫0～t １/1+θt-θ＾2・θdθ　この先がわからないのですが…教えていただきたいっす。おねがいします。

回答No.1

at06 · ベストアンサー

まず、部分積分が間違っているのでそこから補足します。
区間は省略します。
また、入力の性質上、見にくいので紙に書きながら読むことをおすすめします。

　∫log(1+θt-θ^2)dθ
= ∫log(1+θt-θ^2)・(θ)'dθ
= [θlog|1+θt-θ^2|] - ∫θ・(log(1+θt-θ^2))'dθ

ここで、(log(1+θt-θ^2))' = (1+θt-θ^2)'/(1+θt-θ^2)であり、また、[ ]の中の値は 0 なので
= -∫(θt-2θ^2)/(1+θt-θ^2) dθ

ここから変形を繰り返していきます。
= -∫(2+2θt-2θ^2-θt-2)/(1+θt-θ^2) dθ
= -∫(2+2θt-2θ^2)/(1+θt-θ^2) dθ + ∫(θt+2)/(1+θt-θ^2) dθ
= -∫2dθ + ∫(θt+2)/(1+θt-θ^2) dθ
= [-2θ] - ∫(-θt-2)/(1+θt-θ^2) dθ
= -2t - (1/2)∫(-2θt+t-t-4)/(1+θt-θ^2) dθ
= -2t - (1/2)∫(-2θt+t)/(1+θt-θ^2) dθ + (1/2)∫(t+4)/(1+θt-θ^2) dθ
= -2t - (1/2)∫(1+θt-θ^2)'/(1+θt-θ^2) dθ + (1/2)∫(t+4)/(1+θt-θ^2) dθ
= -2t - (1/2)[log(1+θt-θ^2)] + ((t+4)/2)∫1/(1+θt-θ^2) dθ
= -2t - 0 + ((t+4)/2)∫1/(1+θt-θ^2) dθ
= -2t - ((t+4)/2)∫1/(θ^2-θt-1) dθ

ここで、θ^2-θt-1=0のθについて解いた解をa,b (a>b)とします。
すると θ^2-θt-1 = (θ-a)(θ-b)です。
これを用いて残った積分を部分分数展開します。
残りの積分のみ計算します。
　∫1/(θ^2-θt-1) dθ
= ∫1/(θ-a)(θ-b) dθ
= (1/(b-a))∫(1/(θ-b)-1/(θ-a))dθ
= (1/(b-a))[log|θ-b|-log|θ-a|]
= (1/(b-a))(log|t-b|-log|t-a|-(log|-b|-log|-a|))
これを計算すると 0 になります。

以上から
∫log(1+θt-θ^2)dθ = -2t
となります。

お礼

ご回答ありがとうございました！長い式を丁寧にご指摘頂きまして、ありがとうございました。

回答No.2

stomachman

ご質問には方程式が出てこないのだから、「解」なんて関係ないですよ？

おそらく「解も一定」と仰るのは、
∫0～t log{1+θ(t-θ)}dθ　
という定積分が一定、という意味のお積もりでしょう。

　この定積分に含まれている変数はtだけしかありません。（θは積分変数ですから、積分の外に現れてくることはありません。）だから、「この定積分は（もし積分が存在すれば）tだけの関数である」ということは自明です。つまり
f(t) = ∫0～t log{1+θ(t-θ)}dθ
という風に書ける。この式は「tを決めたとき、右辺の積分が存在するならf(t)の値がひとつ決まる。tを決めたとき、右辺の積分が存在しないんなら、そのtに於いてf(t)は定義されない」ということを表しています。

　さて 、ｔ＞0の場合、g(θ)=log{1+θ(t-θ)}という関数は 0≦θ≦tの範囲で滑らかで特異点も持たないのだから、右辺の積分が存在するのは自明でしょう。また、ｔ＜0の場合にも、g(θ)=log{1+θ(t-θ)}は t≦θ≦0の範囲で滑らかで特異点も持たない。はやり、積分は存在します。

　ですから、積分を計算してみる必要は全然ありません。tを決めれば、tが幾らだろうと
f(t) = ∫0～t log{1+θ(t-θ)}dθ
の右辺も決まる。単にそれだけの話です。

お礼

ありがとうございます！そうでした、解ではなく定積分が一定、という意味でした。ご指摘いただいたアドバイスは大変参考になりました。