ベクトル

質問

四角形ABCDにおいて、対角線AC,BDが点Pで交わっている。
↑a=↑AB,↑b=↑BCとおく。↑BD=↑-a+2/3↑bを満たす。
（1）↑CDおよび↑DAを↑aと↑bで表せ。
（2）↑APを↑aと↑bで表せ。
（3）四角形ABCDの面積をSとするとき、三角形APDの面積をSで表せ。

（2）のやりかたは↑APをふたつの式で表してとくのでしょうか？？
（1）以降が全くわかりません。どなたかヒントを教えてくれませんか？？　よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.4

age_momo · ベストアンサー

(1)が分からないのならベクトルの基本をよく勉強しましょう。
例えば↑a=↑AB,↑b=↑BC　ならば

↑AC=↑AB+↑BC=↑a+↑b

あるいは

↑AC=↑BC-↑BA=↑b-(-↑a)=↑a+↑b

と計算しますね。今、
↑AB,↑BC,↑BDが↑a,↑bで表されているのですから
↑CD　や　↑DA　を↑a,↑bで表わすのは基本です。
そして↑DA=-2/3↑bと出せばAD//BCと分かりますので
四角形ABCDはAD//BC,AD=2/3BCの台形と分かります。
とすれば、△ADP∽△CBPですのでAP=kACとしてkを求めるのは
中学の数学の範囲です。kが求まれば上に書いたように
↑AC=↑a+↑b
ですから
↑AP=k↑AC=k(↑a+↑b)
そこが分かれば(3)も求めることができます。

お礼

丁寧に解説していただいてありがとうございました。

回答No.3

postro

ベクトルaを[a]と書くことにします
[CD]=[BD]-[b]=-[a]+(2/3)[b]-[b]=-[a]-(1/3)[b]
[DA]=-[BD]-[a]=-(2/3)[b]

BP:PD=m:(1-m) とする。また
[AP]=k[AC]=k[a]+k[b] とする。
[AP]=(2m/3)[b]+(1-m)[a]=k[a]+k[b] より
k=(1-m)=(2m/3) よって
m=3/5 ,k=2/5
[AP]=(2/5)[a]+(2/5)[b]

BP:PD=3:2
AP:PC=2:3
より
△APD=(2/5)(2/5)S=(4/25)S

お礼

とても解りやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.2

sonetea

> （1）以降が全くわかりません。

それは何もわからないと言うのでは…

(1)は
↑CD = ↑BD - ↑BC
のように既知のベクトルに置き換えれば求められます。

> （2）のやりかたは↑APをふたつの式で表してとくのでしょうか？？

その通りです。
APとPCの比をs:1-s, BPとPDの比をt:1-tとでおいて式を立てれば求められます

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

YHU00444

(1)はBを始・終点とするベクトルを考えればOKでしょう。
(2)はご質問にあるとおりで、Pが線分ACとBD上にあることから↑APが↑ACと↑BDの定数倍を使って書けることが分かるので（図を書いて考えましょう）、簡単な連立方程式で解けます。
(3)は↑APが分かれば色々な方法で解けます。（以上）