数学I

質問

四角形ABCDにおいて、AB=DA=３√２ー√６　BC＝３√２　CD＝３√３ー３　∠A＝１２０°であるとき

（１）対角線BDの長さは、BD＝□√□ー□√□　である。

（２）cos∠C＝√□/□　である。

（３）四角形ABCDの面積Sは　S＝□□√□ー□□/□　となる。

□に一文字入ります。
解き方も教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

asuncion

設問1
BD^2 = AB^2 + DA^2 - 2・AB・DA・cosA
= 2(3√2 - √6)^2 - 2(3√2 - √6)^2・(-1/2)
= 2(3√2 - √6)^2 + (3√2 - √6)^2
= 3(3√2 - √6)^2
BD > 0であるから、
BD = √3(3√2 - √6) = 3√6 - 3√2

設問2
BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2・BC・CD・cosC
= (3√2)^2 + (3√3 - 3)^2 - 2・3√2・(3√3 - 3)cosC
= 18 + 9(4 - 2√3) - 18(√6 - √2)cosC
= 18(3 - √3) - 18(√6 - √2)cosC
= 3(3√2 - √6)^2
= 3(24 - 6√12)
= 18(4 - 2√3)

(√6 - √2)cosC = 3 - √3 - 4 + 2√3 = √3 - 1
cosC = (√3 - 1)(√6 + √2) / 4
= (3√2 + √6 - √6 - √2) / 4
= √2 / 2

設問3
sinA = √3 / 2, sinC = √2 / 2であるから、
四角形ABCDの面積 = △ABD + △BCD
= (3√2 - √6)^2・(√3 / 4) + 3√2(3√3 - 3)・(√2 / 4)
= (24 - 12√3)・(√3 / 4) + 18(√3 - 1) / 4
= (24√3 - 36 + 18√3 - 18) / 4
= (42√3 - 54) / 4
= (21√3 - 27) / 2

お礼

ありがとうございました(´∀｀*)