ベクトルの足し算引き算

質問

長方形ABCDで辺AB.BC.CD.DAの中点をそれぞれ中点をそれぞれP.Q.R.Sとする。以下の問いに答えよ

昨日答え少し出ていた部分はあるんですが微妙にやり方違うから合ってますか。って聞きたいんですが合ってますか？

全部→なんでそれは省略します
最初は同じ文字で挟むんですよね(最初ならAB+BCのようにBで共通してるから隣合わせるって感じです。そうすると自然と最初のステップはできるし）

ACをAPとASで示せ
AC=AB+BC=2AP+2AS

BDをAPとASで示せ
BD=BA+AD=2PA+2AS=2AS-2AP

PDをAPとASで示せ
PD=PA+AD=-AP+2AS=2AS-AP

CRをACとADで示せ
AQをACとADで示せ
前半3つすら合ってる自信はないですが、後半は全然わからないです。それがわかってもわからないんですが、最初にCRを表す時って今までは斜辺を表してから足してましたが（1番最初で言うAB+BC）、今回は斜辺じゃなくて、なんていうか、斜辺じゃない辺じゃないですか？だから足せなさそうだし。
それが足せたと仮定しても先進まないんですよね。

回答No.4

konarukarof · ベストアンサー

回答Ｎｏ．３への回答です。

私が説明したのは、その方が（めんどうくさいが）確実だ、ということです。

図を描いて、試行錯誤するのも可能ですが、糸口が見つからないと大変です。
ひらめけば問題ありません。
４番目は、
　２ＣＲ＝ＣＤ＝ＣＡ＋ＡＤ＝－ＡＣ＋ＡＤ
より
　ＣＲ＝－１／２ＡＣ＋１／２ＡＤ

５番目は、
　ＡＱ＝ＡＣ＋ＣＱ＝ＡＣ－１／２ＡＤ
ずっと図を見ていれば、慣れてくると思いますが。

確認問題：
　ＡＢをＡＣとＡＤを使って表しなさい。

回答No.3

konarukarof

前半３つはＯＫなので、後半２つを説明します。

「ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣのように、同じ文字を挟んでいく」
だけでは、試行錯誤に時間がかかって大変なので、もうひとつ覚えて下さい。

「２次元のベクトルは、互いに平行でない２つのベクトルの和で表わせる」

この問題の場合、前半３つは、ＡＣ，ＢＤ，ＰＤを平行でないベクトルＡＳとＡＰの和で表わす、という問題で、
後半はＣＲ，ＡＱをＡＣ，ＡＤで表わす問題です。

前半は、ＡＳ，ＡＰという直交する２つのベクトルなので、
直感的にも分かりやすいですが、
後半は斜めのベクトルが入っているので、難しくなっています。
なので、先に、斜めのベクトルを直交するベクトルで表わしておくと
分かりやすくなります。

次の手順で考えると楽です。
１）直交していない２つのベクトルを直交する簡単な２つのベクトルで表わしておく
　ＡＣ＝２ＡＰ＋２ＡＳ
　ＡＤ＝２ＡＳ
２）直交する簡単な２つベクトルを直交しない２つベクトルで表わす。
　ＡＳ＝１／２ＡＤ
　ＡＰ＝１／２ＡＣ－ＡＳ＝１／２ＡＣ－１／２ＡＤ
３）元のベクトルを直交する簡単な２つベクトルで表わす。
　ＣＲ＝－ＡＰ
　ＡＱ＝ＡＢ＋ＢＱ＝２ＡＰ＋ＡＳ
４）　３）の右辺に２）の結果を代入する。
　ＣＲ＝１／２ＡＤ－１／２ＡＣ
　ＡＱ＝ＡＣ－ＡＤ＋１／２ＡＤ＝ＡＣ－１／２ＡＣ

この手順で、任意のベクトルを、斜めの２つのベクトルで表わすことも簡単に（確実に）できます。

Ｑ：ＡＣをＡＱとＡＲを使って表わしなさい。

補足

僕がやった前半3つみたいに=で繋いでいってやるのはできませんか？

回答No.2

Mr_Holland

前半３つはＯＫだと思います。

　後半の２つの解き方のコツは、片方しかない方向成分を先に片付けることです。
　例えば、長方形の頂点の配置が＃１さんが示された通りだとすれば、　→ＡＣと→ＡＤ　を見くらべると、どちらにも横方向の成分が含まれていますが、縦方向の成分は　→ＡＣ　にしか含まれていません。
　従って、先に　→ＡＣ　を使って縦方向の成分を片付けると楽になります。

　→ＣＲ＝1/2→ＣＡ＋1/2→ＡＤ　＝－1/2→ＡＣ＋1/2→ＡＤ　

　→ＡＱ＝→ＡＣ＋→ＣＱ　＝→ＡＣ－1/2→ＡＤ

　なお、→ＣＲ　は次のように分解して考えてもＯＫです。

　→ＣＲ＝1/2→ＣＤ　＝1/2（→ＣＡ＋→ＡＤ）　＝－1/2→ＡＣ＋1/2→ＡＤ

回答No.1

settheory

Ａ　　Ｄ
Ｂ　　Ｃ　
という長方形ですよね。前半三つは合ってると思います。

ＣＲをＡＣ，ＡＤで表す：ＡＤを、ＡＣとＣＲで表してみれば上手くいくと思います。

ＡＱをＡＣ，ＡＤで表す：ＡＱを、ＡＣとＣＱで表してみてください。

三つのベクトルが出てくる等式を適当につくっていけば、なんとかなるような気がします。あまり深く考えず、成り立ちそうな等式をつくっていって分析していけばよいのでは。