四角形の対角線の角度の求め方を教えてくださ。

質問

四角形ABCDのAB,BC,CD.DAの長さ及び対角線AC,BDが分かる場合の対角線の交わる角度を教えてください。簡単なようですが分かりません。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

対角線の交点をEとすると対角線の交わる角度は
∠BEC=∠AED=x, ∠AEB=∠CED=yです。
ここで x+y=π(=180°)です。

x=π-∠EBC-∠ECB
cos(x)=-cos(∠EBC+∠ECB)=sin(∠EBC)sin(∠ECB)-cos(∠EBC)cos(∠ECB) ...(※)
余弦定理より
cos(∠EBC)=cos(∠DBC)=(BC^2+BD^2-CD^2)/(2BC*BD)
cos(∠ECB)=cos(∠ACB)=(BC^2+AC^2-AB^2)/(2BC*AC)
sin(∠EBC)=√{1-(cos(∠EBC))^2}=√{4(BC*BD)^2-(BC^2+BD^2-CD^2)^2}/(2BC*BD)
sin(∠ECB)=√{1-(cos(∠ECB))^2}=√{4(BC*AC)^2-(BC^2+AC^2-AB^2)^2}/(2BC*AC)
この４つの三角関数を(※)に代入して arccosをとれば角度x[ラジアン]が求まります。
対角線の角度xの単位はラジアンですが、度数法にするには「180/π」をかけてやれば　度（°）の単位に変換できます。
もう１つの補角の角度ｙなら y=π-x[ラジアン]で求まります。度（°）単位であれば「180/π」を掛ければ変換できます。

お礼

何とか理解し前進出来ました。ありがとうございます。

回答No.1

noname#199771

△CAB、△DBAに夫々余弦定理を適用して
∠CAB、∠DBAを求めれば∠AEBが求まり
ますね（Eは2本の対角線の交点）。

実際の計算はとてもやる気になれませんが。